?2bn＝an＋an＋1 ①

解：由题意知：? 2

?an＋1＝bnbn＋1 ②

∴an+1＝bnbn＋1 ，an＝bnbn－1 (n≥2) 代入①得2bn＝bnbn＋1 ＋bnbn－1 即2bn ＝bn＋1 ＋bn－1 (n≥2) ∴{bn }成等差数列，设公差为d a229

又b1＝2，b2＝ ＝ ，

b12∴d＝b2 －b1 ＝∴bn ＝2 ＋

322

－2 ＝ 22

221（n－1）＝（n＋1），bn＝ （n＋1）2， 222

n（n＋1）

当n≥2时，an＝bnbn－1 ＝ ③

2且a1＝1时适合于③式，故

ann ＝ . bnn＋1

评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.

y

6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy， 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.

x

y

分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论 和x－y的大小关系，分成

x两种情况讨论.

y

解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而 ＜1＜x－y

xyy

当 ＜x－y时，由 ，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列. xx

?? y ·xy＝（x－y）（x＋y）则有?x

2

??（x＋y）＝（x－y）xy

7

解方程组得x＝7＋52 ，y＝5＋ 2

2∴所求等比数列为

231799

，2＋ 2 ，12＋ 2 ，70＋ 2 . 2222

yy

当 ＞x－y时，由x－y， ，x＋y，xy顺次构成等比数列 xxy

·xy＝（x＋y）2x则有

y

（x＋y）＝（x－y）xyx

???

解方程组得y＝1

，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在. 12

7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 分析一：从后三个数入手.

（x－d）2

解法一：设所求的四个数为 ，x－d，x，x＋d，根据题意有

x272

（x－d）x＝ ???x＝12427 ＋（x＋d）＝21

x?， 解得? 或 94d＝6??d＝ ?（x－d）＋x＝182

?

??

7545279

∴所求四个数为3，6，12，18或 ， ， ， .

4444分析二：从前三数入手.

x

解法二：设前三个数为 ，x，xq，则第四个数为2xq－x.

q45

xx＝ ?? ＋2xq－x＝21?x＝64

依题设有?q， 解得? 或3 q＝2??x＋xq＝18?q＝ 5

???

7545279

故所求的四个数为3，6，12，18或 ， ， ， . 4444分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.

解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得： 75x＝ ?y＝x（18－y）?x＝34

? ，解得? 或45 ?2（18－y）＝y＋（21－x）?y＝6

y＝

4

2

???

7545279

∴所求四数为3，6，12，18或 ， ， ， .

4444