第八课时 等比数列(二)

教学目标：

灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 教学重点：

1.等比中项的理解与应用.

2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点：

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾

等比数列定义，等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课

根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?

a＋b

(1)若a，A，b成等差数列?a＝ ，A为等差中项.

2

那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，…… Gb

则即 ＝ ，即G2＝ab

aG

Gb

反之，若G2＝ab，则 ＝ ，即a，G，b成等比数列

aG

∴a，G，b成等比数列?G2＝ab (a·b≠0)

总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G＝±ab ，(a，b同号)

另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，那么，在等比数列中呢？

－－－－

由通项公式可得：am＝a1qm1，an＝a1qn1，ap＝a1qp1，aq＝a1·qq1

－－

不难发现：am·an＝a12qm+n2，ap·aq＝a12qp+q2 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq

下面看应用这些性质可以解决哪些问题?

［例1］在等比数列{an}中，若a3·a5＝100，求a4.

分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq可得： 解：∵在等比数列中，∴a3·a5＝a42 又∵a3·a5＝100，∴a4＝±10.

［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an·bn}是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得.

解：设数列{an}的首项是a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为q.

－

则数列{an}的第n项与第n＋1项分别为a1pn1，a1pn

－

数列{bn}的第n项与第n＋1项分别为b1qn1，b1qn.

－－

数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1·pn1·b1·qn1与a1·pn·b1·qn，即为

－

a1b1(pq)n1与a1b1(pq)n

a1b1（pq）nan+1bn+1∵ · ＝－ ＝pq anbna1b1（pq）n1它是一个与n无关的常数，

∴{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.

特别地，如果{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c·an}是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m，G，n为此三数 由已知得：m＋n＋G＝14，m·n·G＝64， 又∵G2＝m·n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10

?m＝2?m＝8∴? 或? ?n＝8?n＝2

即这三个数为2，4，8或8，4，2.

评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习

课本P50练习1，2，3，4，5. Ⅳ.课时小结

本节主要内容为：

(1)若a，G，b成等比数列，则G2＝ab，G叫做a与b的等比中项. (2)若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq Ⅴ.课后作业

课本P52习题 5，6，7，9

等比数列(二)

1．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ）

A.5 B.10 C.15 D.20

2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 （ ）

A.9 B.10 C.11 D.12

3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）

A.10 B.12 C.14 D.16 4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.

5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.

y

6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy， 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.

x

7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.

等比数列(二)答案

1．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ）

A.5 B.10 C.15 D.20

分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而应寻求a3＋a5整体与已知条件之间的关系.

解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝25 即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0 ∴a1q2(q2＋1）＝5

a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5 解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25

由等比数列性质得a32＋2a3a5＋a52＝25 即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5

评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.

2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 （ ）

A.9 B.10 C.11 D.12

－

解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q111

－

又∵a1＝1，∴am＝q111，∴m＝11. 答案：C

3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）

A.10 B.12 C.14 D.16

y＝x＋zy＝x＋z???22?22?2y＝3x解：由已知得?y＝（x＋1）z ??y＝（x＋1）z ??2 ?y＝12

y＝（x＋1）2x?2

???y＝x（z＋2）?z＝2x答案：B

4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.

解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d

??（x－d）＝ax ①则?a＋（x－d）＋x＝19 ② ??（x－d）＋x＋（x＋d）＝12 ③

?（4－d）2＝4a解得x＝4，代入①、②得?

? a－d＝11

?a＝25?a＝9解得? 或?

?d＝14?d＝－2

故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.

5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.

分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.

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