得sin∠CAB＝

6－2

. 4

133

(2)由题意知S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝－，

222又由 AC＝CD＝6，

则△ACD为等腰三角形，作CE⊥AD于E(图略)， 则DE＝AE，

在Rt△DCE中，∠ADC＝30°， 32

则DE＝，则AD＝32 ，

2133S△ACD＝AD·DCsin∠ADC＝，

223

S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋3.

2

B组 能力提高

4．(2019·上饶联考)已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边AD2的中点，△ABC的面积为. 3sin B(1)求sin∠BAD·sin∠BDA的值； (2)若BC＝6AB，AD＝22，求b.

AD2解 (1)由△ABC的面积为且D为BC的中点可知，

3sin BAD2

△ABD的面积为，

6sin B由三角形的面积公式可知： 1AD2AB·BD·sin B＝， 26sin B

由正弦定理可得，3sin∠BAD·sin∠BDA＝1， 1∴sin∠BAD·sin∠BDA＝，

3(2)∵BC＝6AB ， 又∵D为中点，

∴BC＝2BD＝6AB，即BD＝3AB， 在△ABD中由正弦定理可得∴sin∠BAD＝3sin∠BDA， 1

由(1)可知sin∠BAD·sin∠BDA＝，

3

BDAB

＝，

sin∠BADsin∠BDA

1

∴sin∠BDA＝，sin∠BAD＝1，

3π

∵∠BAD∈(0，π) ∴∠BAD＝，

21

在Rt△ABD中AD＝22，sin∠BDA＝，

3∴AB＝1，BD＝3. ∵BC＝2BD，∴BC＝6. 在△ABC中由余弦定理， 可得b2＝a2＋c2－2accos B

1

＝1＋36－2×1×6×＝33，∴b＝33.

3

36

5．(2019·河北衡水金卷质量测评)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝，

2A＝60°，C＝45°. (1)求c的值；

(2)以AB为一边向外(与点C不在AB同侧)作一新的△ABP，使得∠APB＝30°，求△ABP面积的最大值．

ac解 (1)在△ABC中，由正弦定理得＝，

sin Asin C36将a＝，A＝60°，C＝45°代入上式得

2362c

＝?c＝3， sin 60°sin 45°所以c的值为3.

(2)在△ABP中，由余弦定理得 AB2＝PA2＋PB2－2PA·PBcos 30°， 所以9＝PA2＋PB2－3PA·PB， 由不等式的性质可知

9＝PA2＋PB2－3PA·PB≥(2－3)PA·PB， 9所以PA·PB≤＝9(2＋3)，

2－3当且仅当PA＝PB时取等号． 1

所以S△PAB＝PA·PBsin 30°

219＝PA·PB≤(2＋3)， 44

9

所以△ABP面积的最大值为(2＋3)．

4