即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD， 3
∴cos∠BCD＝2cos2∠ACB－1＝－，
5∵cos∠ACB>0，∴cos∠ACB＝
5， 5
5， 5
∵在△ABC中，BC＝1，AB＝2，cos∠ACB＝
∴由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB可得， 25AC2－AC－3＝0，
5
35
解得AC＝5，或AC＝－(舍去)，
5∴AC的长为5. 3
(2)∵cos∠BCD＝－，
5
4
∴sin∠BCD＝1－cos2∠BCD＝，
5又∵∠CBD＝45°，
∴sin∠CDB＝sin(180°－∠BCD－45°) ＝sin(∠BCD＋45°) ＝
22
(sin∠BCD＋cos∠BCD)＝， 210
BCCD
＝，
sin∠CDBsin∠CBD
∴在△BCD中，由正弦定理
BC·sin∠CBD
可得CD＝＝5，即CD的长为5.
sin∠CDB
跟踪演练3 (2019·淮南模拟)如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且AC＝3，AD＝
321
，O为△ABC外接圆的圆心，且cos∠BOC＝－. 23
(1)求sin∠BAC的值； (2)求△ABC的面积．
解 (1)如图所示，∠BOC＝2∠BAC，
∴cos∠BOC＝cos 2∠BAC 1
＝1－2sin2∠BAC＝－，
326
∴sin2∠BAC＝，sin∠BAC＝. 33
(2)延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE， 则四边形ABEC为平行四边形， ∴CE＝AB，
在△ACE中，AE＝2AD＝32，AC＝3， ∠ACE＝π－∠BAC，
cos∠ACE＝－cos∠BAC＝－1－?
6?3??
2
＝－33
， 由余弦定理得，
AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos∠ACE， 即(32)2＝(3)2＋CE2－2×3·CE×?－
3?
3??
， 解得CE＝3，∴AB＝CE＝3， ∴S1
△ABC＝2AB·AC·sin∠BAC
＝12×3×3×6323＝2
. 真题体验
(2019·全国Ⅲ，文，18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin (1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理， A＋C得sin Asin＝sin Bsin A.
2因为sin A≠0，所以sin
A＋C
＝sin B. 2
A＋CB
＝cos ， 22
A＋C
＝bsin A. 2
由A＋B＋C＝180°，可得sin BBB故cos ＝2sin cos .
222
BB1
因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.
222(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝
3
a. 4
－C?csin Asin?120°31
由正弦定理，得a＝＝＝＋.
sin Csin C2tan C2