点O.
(1)求证:△DAF≌△ABE; (2)求∠AOD的度数.
【考点】LE:正方形的性质;KD:全等三角形的判定与性质. 【专题】14 :证明题.
【分析】(1)利用正方形的性质得出AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,即可得出结论; (2)利用(1)的结论得出∠ADF=∠BAE,进而求出∠ADF+∠DAO=90°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB,
????=????
在△DAF和△ABE中,{∠??????=∠??????=90°,
????=????∴△DAF≌△ABE(SAS),
(2)由(1)知,△DAF≌△ABE, ∴∠ADF=∠BAE,
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°, ∴∠AOD=180°﹣(∠ADF+DAO)=90°.
【点评】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,判断出△DAF≌△ABR是解本题的关键.
23.(8分)(2018?湘潭)湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后,又准备争创全国卫生城市.某小区积极响应,决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元,且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.
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(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个,且费用不超过10000元,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少元?
【考点】CE:一元一次不等式组的应用;8A:一元一次方程的应用. 【专题】12 :应用题.
【分析】(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”,建立方程求解即可得出结论;
(2)根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”,建立不等式即可得出结论.
【解答】解:(1)设温情提示牌的单价为x元,则垃圾箱的单价为3x元, 根据题意得,2x+3×3x=550, ∴x=50,
经检验,符合题意, ∴3x=150元,
即:温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元;
(2)设购买温情提示牌y个(y为正整数),则垃圾箱为(100﹣y)个, 根据题意得,意,{
125∴≤y≤52,
3
∵y为正整数,
100???≥48
,
30??+150(100???)≤10000
∴y为42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,共11中方案; 即:温馨提示牌42个,垃圾箱58个,温馨提示牌43个,垃圾箱57个,温馨提示牌44个,垃圾箱56个,
温馨提示牌45个,垃圾箱55个,温馨提示牌46个,垃圾箱54个,温馨提示牌47个,垃圾箱53个,
温馨提示牌48个,垃圾箱52个,温馨提示牌49个,垃圾箱51个,温馨提示牌50个,垃圾箱50个,
温馨提示牌51个,垃圾箱49个,温馨提示牌52个,垃圾箱48个,
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根据题意,费用为30y+150(100﹣y)=﹣120y+15000, 当y=52时,所需资金最少,最少是8760元.
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组,一元一次方程的应用,正确找出相等关系是解本题的关键.
3
24.(8分)(2018?湘潭)如图,点M在函数y=(x>0)的图象上,过点M分
??
1
别作x轴和y轴的平行线交函数y=(x>0)的图象于点B、C.
??
(1)若点M的坐标为(1,3). ①求B、C两点的坐标; ②求直线BC的解析式; (2)求△BMC的面积.
【考点】G5:反比例函数系数k的几何意义;FA:待定系数法求一次函数解析式;G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
【专题】151:代数综合题;31 :数形结合;534:反比例函数及其应用. 【分析】(1)把点M横纵坐标分别代入y=解析式得到点B、C坐标,应用待定
??系数法求BC解析式;
(2)设出点M坐标(a,b),利用反比例函数性质,ab=3,用a、b表示BM、MC,求△BMC的面积.
【解答】解:(1)①∵点M的坐标为(1,3) 且B、C函数y=(x>0)的图象上
??∴点C横坐标为1,纵坐标为1
1
点B纵坐标为3,横坐标为
3
1
1
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1
∴点C坐标为(1,1),点B坐标为(,3)
3
②设直线BC解析式为y=kx+b 把B、C点坐标代入得
1=??+??
{
3=
1 ??+??3解得
{??=?3
??=4
∴直线BC解析式为:y=﹣3x+4 (2)设点M坐标为(a,b)
3
∵点M在函数y=(x>0)的图象上
??
∴ab=3
由(1)点C坐标为(a,),B点坐标为(,b)
????
1?????11?????1
∴BM=a﹣=,MC=b﹣=
????????1?????1?????11(?????1)22
∴S△BMC=??=×= 2????2????3
【点评】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、数形结合数学思想,解答过程中要注意用字母表示未知量,根据题意列出方程.
25.(10分)(2018?湘潭)如图,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径CO⊥AO,
?上的动点,且不与点A、C、B重合,直线AM交直线OC于点D,连点M是????
11
结OM与CM.
(1)若半圆的半径为10. ①当∠AOM=60°时,求DM的长; ②当AM=12时,求DM的长.
(2)探究:在点M运动的过程中,∠DMC的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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