证明 设A上定义的二元关系R为：

xu

＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R? = yvxx

① 对任意＜x,y＞∈A，因为 = ，所以

yy

＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R 即R是自反的。

② 设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若

xuux

＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R? = ? = ?＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R

yvvy即R是对称的。

③ 设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对 ＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R xuuwxw?（ = ）∧（ = ）? = yvvsys?＜＜x,y＞, ＜w,s＞＞∈R

故R是传递的，于是R是A上的等价关系。

3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使在R之中，则R是一个等价关系。

证明 对任意a∈A，必存在一个b∈A，使得＜a,b＞∈R. 因为R是传递的和对称的，故有：

＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈R?＜a, c＞∈R?＜c,a＞∈R 由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈R?＜a,a＞∈R 所以R在A上是自反的，即R是A上的等价关系。

3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，试确定下述各式，哪些是a）（A×A）-R1； b）R1-R2； c）R21；

d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。 解 a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：

A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}

A上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。 A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞} （A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞} 所以（A×A）-R1不是A上等价关系。 b）设 A={a,b,c}

R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜ R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞} R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}

所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。 c）若R1是A上等价关系，则 ＜a,a＞∈R1?＜a,a＞∈R1○R1

所以R21是A上自反的。

若＜a,b＞∈R21则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有 ＜b, c＞∈R21∧＜c,a＞∈R1?＜b, a＞∈R1 即R21是对称的。

若＜a,b＞∈R21∧＜b, c＞∈R21,则有 ＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1

c,c＞} ?（?e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（?e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1） ?＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1传递） ?＜a,c＞∈R12 即R12是传递的。 故R12是A上的等价关系。

d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但 r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA

={＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞, ＜c,c＞} 不是A上的等价关系。

3-10.8 设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)?ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。

证明：(1)对任意非零实数a，有a2>0?(a+bi)R(a+bi) 故R在C*上是自反的。

(2) 对任意(a+bi)R(c+di)?ac>0,