中北大学2010届毕业论文

第二章 一级倒立摆系统的数学模型的建立

建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的前提。系统建模可以分为机理建模和实验建模。机理建模是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的基本定律，如电学中的克希霍夫定律，力学中的牛顿定律，热力学中的热力学定律等，即利用各个专门学科领域提出的物质和能量的守恒性和连续性原理，以及系统设备的结构数据推导出模型，这种方法得出的数学模型称之为理论模型或解析模型，这种建立模型的方法称之为解析法；实验建模是根据系统的输入输出数据所提供的信息，进行数据的统计处理，并用适当的数学模型去逼近，从而得到关于系统模型的参数，这种方法是实验方法或称统计建模法，也称系统辨识。由于倒立摆系统是自然不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。在分析它的运动规律基础上，经过一定的假设，忽略一些次要的因素后，可通过机理建模方式建立其数学模型。

本章将应用牛顿-欧拉法建立直线一级倒立摆系统的动力学模型。 2.1一级倒立摆系统动力学分析

2.1.1直线一级倒立摆系统的硬件组成以及工作原理

倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及出计算机和运动控制卡组成的控制平台三大部分，组成了一个闭环系统。其结构件图如图2.1所示：

图2.1 一级倒立摆系统结构简图

其中电控箱内主要有以下部件：(1)交流伺服驱动器；(2)I／O接口板；(3)开关电源。控制平台主要部分组成：(1)与IBM PC／AI机兼容的PC机，带PCI／SCI总线插槽；(2)GT400一SV—PCI运动控制卡；(3)GT400．SV—PCI运动控制卡用户接口软件。电机通

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过同步带驱动小车在滑杆上来回运动，以保持摆杆平衡。

直线一级倒立摆系统的工作原理如图2.2所示：

计算机 运动控制卡 伺服驱动器 伺服电机 摆杆 光电码盘1 光电码盘2 图2.2 倒立摆系统工作原理框图

电机编码器和角码器向运动控制卡反馈小车和摆杆位置，小车的位移可以根据光Ffl码盘l的反馈通过换算获得，速度信号可以通过对位移的差分得到，并同时反馈给伺服驱动器和运动控制卡；摆杆的角度由光电码盘2测量得到，而角速度信号可以通过对角度的差分得到，并同时反馈给控制卡和伺服驱动器。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策(小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等)，并由运动控制卡来实现控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。

下面来介绍一级倒立摆系统的一些硬件组成： （1）伺服电机

伺服电机又称为执行电动机，在自动控制系统中作为执行元件，它将输入的电压信号变换成转轴的角位移或者角速度输出。输入的电压信号又称为控制信号或者控制电压。改变控制电压可以变更伺服电机的转速和转向。

自动控制系统对伺服电机的基本要求如下:

1）宽广的调速范围伺服电机的转速随着控制电压的改变能在宽广的范围内实现连续调节。

2）机械特性和调节特性均为线性伺服电机的机械特性是指控制电压一定时转速随转距的变化关系;调节特性是指电机转矩一定时，转速随控制电压的变化关系。线性的

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机械特性和调节特性有利于提高自动控制系统的动态精度。

3）无“自转”现象伺服电机在控制电压为零时，能够自行停转。

4）快速响应电机的机电常数要小，相应的伺服电机要有较大的堵转转矩和较小的转动惯量。这样，电机的转速便能随着控制电压的改变而迅速变化。

(2) 编码器

编码器作为检测转速、线速度、角速度、线位移、角位移的一种传感器，是利用码盘将这些信号转换成亮、暗光信号，再用各种光电器件的光电效应将信号转换成电信号输出。可以说是一种最简单的数字式传感器，精度高且可靠，应用非常广泛。

编码器有两种形式:增量式编码器和绝对编码器。 (3)限位开关

限位开关又称行程开关,可以安装在相对静止的物体(如固定架、门框等，简称静物)上或者运动的物体（如行车、门等，简称动物）上。当动物接近静物时，开关的连杆驱动开关的接点引起闭合的接点分断或者断开的接点闭合。由开关接点开、合状态的改变去控制电路和机构的动作。

限位开关也可分为旋转限位开关及直行限位开关。 (4)运动控制器

2.1.2建立单级倒立摆的数学模型

数学模型是分析、设计、预报和控制系统的基础。建立系统数学模型有两种方法:一种是从基本物理定律，即利用各个专门学科领域提出来的物质和能量的守恒性、连续性原理，以及系统的结构数据推导出模型。这种方法得出的数学模型称为机理模型或解析模型，这种建立模型的方法称为解析法。另一种是系统运行和实验数据建立系统的模型(模型结构和参数)，这种方法称为系统辨识。倒立摆的形状较为规则，而且是一个不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型，故适合用数学工具进行理论推导[16]。

直线倒立摆系统是一个机电一体化系统，由小车和摆杆组成。小车可以沿水平方向上的导轨运动，导轨的一端固定有位置传感器，可以测量小车的位移；摆杆通过转轴固定在小车上，小车和摆杆的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆杆的角度。直流

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永磁力矩电机和位置传感器固定在同一侧，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动。导轨的两端装有行程开关，限制小车的左右位置。

为了在数学上推导和处理问题的方便，可作出如下假设： （1） 摆杆在运动中是不变形的刚体；

（2） 齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象； （3） 小车在运动过程中，摩擦系数一定； （4） 忽略空气阻力；

基于以上几点，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统（图2.3）

θ m u M F 0 x

图2.3 一级倒立摆小车摆杆位置图

在本文中，将应用牛顿一欧拉法对倒立摆进行数学建模[17]。在上面的图2.3 中假设:

x小车位移，单位(m);

β摆杆与垂直方向的夹角，单位(rad); M小车的质量，单位(kg); m摆杆的质量，单位(kg);

l摆杆的转动轴心到摆杆质心的长度，单位m; J摆杆对重心的转动惯量，单位(kg?m2); u电机对小车施加的作用力，单位(N); F小车所受的等效摩擦力，单位(N);

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