v10?4?10?3?102?190m?s?12
1x10?2?102??103?5?705m231-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解： ??d?d??9t2,???18t dtdt
(1)t?2s时， a??R??1?18?2?36m?s?2
an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2
(2)当加速度方向与半径成45角时，有
οtan45??即 R??R? 亦即 (9t)?18t 则解得 t?于是角位移为
3a??1 an2222 92?2.679rad
??2?3t3?2?3?1-8 质点沿半径为R的圆周按s＝v0t?12bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长,v0，b都是常量，求：2(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．
ds?v0?bt 解：（1） v?dtdv??bdt 22(v?bt)van??0RRa??(v0?bt)4则 a?a??a?b? 2R22n2加速度与半径的夹角为
??arctan(2)由题意应有
a??Rb ?2an(v0?bt)(v0?bt)4 a?b?b?2R2(v0?bt)4,?(v0?bt)4?0 即 b?b?2R22∴当t?v0时，a?b b1-9 半径为R的轮子，以匀速v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为x＝R(?t?sin?t)，y＝
R(1?cos?t)，式中??v0/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，
轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式．
解：依题意作出下图，由图可知
题1-9图 (1)
x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2?R(?t?Rsin?t)y?2Rsin? 22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)sin?(2)
dx?v??R?(1?cos?t)??xdt ?dy?v??Rsin?t)y?dt?dvx?2a?R?sin?t?x??dt ?dv?a?R?2cos?t?yy?dt?1-10 以初速度v0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
?1
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图 (1)在最高点，
v1?vx?v0cos60o
an1?g?10m?s?2
又∵ an1?v12?1
v12(20?cos60?)2?1??a10∴ n1?10m(2)在落地点，
v2?v0?20m?s?1,
而 an2?g?cos60o
2v2(20)2∴ ?2???80m
an210?cos60?1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad2s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s
?1则v?R??0.4?0.4?0.16m?s
?2
?1an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2 a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2
2a?an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2
1-12 如题1-12图，物体A以相对B的速度v＝2gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度． 解：当滑至斜面底时，y?h，则v?A?2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，因此，A对地的速度为
???'vA地?u?vA
???(u?2ghcos?)i?(2ghsin?)j
题1-12图
1-13 一船以速率v1＝30km2h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km2h
-1
-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解：(1)大船看小艇，则有v21?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
???
题1-13图
由图可知 v21?2v12?v2?50km?h?1
方向北偏西 ??arctanv13?arctan?36.87? v24(2)小船看大船，则有v12?v1?v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
???v12?50km?h?1
方向南偏东36.87
1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两
-1
部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m2s，求轮船的速率． 解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．
o
题1-14图
∵ v雨船?v雨?v船 ∴ v雨?v雨船?v船 由图中比例关系可知
??????v船?v雨?8m?s?1
习题二