真题汇编 n(ad?bc)2（2）代入计算公式：K?，然后把所求数据与3.841进行比较
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2即可判断．
【解析】：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P?女顾客对该商场服务满意的概率P?404?， 505303?； 505100(40?20?30?10)21002（2）由题意可知，K???4.762?3.841，
70?30?50?5021故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【归纳与总结】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题．
18．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9??a5． （1）若a3?4，求{an}的通项公式；
（2）若a1?0，求使得Sn…an的n的取值范围．
【思路分析】（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9??a5，即可得
(a?a)?9S9?19?9a5??a5，变形可得a5?0，结合a3?4，计算可得d的值，结合等差数
2列的通项公式计算可得答案；
n(n?1)（2）若Sn…2两种情况讨论，求出n的取an，则na1?d…a1?(n?1)d，分n?1与n…2值范围，综合即可得答案．
【解析】：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
(a?a)?9若S9??a5，则S9?19?9a5??a5，变形可得a5?0，即a1?4d?0，
2a?a若a3?4，则d?53??2，
2则an?a3?(n?3)d??2n?10，
n(n?1)（2）若Sn…an，则na1?d…a1?(n?1)d，
2当n?1时，不等式成立，
nd2时，有…当n…d?a1，变形可得(n?2)d…?a1，
2(a?a)?9又由S9??a5，即S9?19?9a5??a5，则有a5?0，即a1?4d?0，则有
2?a(n?2)1…?a1，
4又由a1?0，则有n?10，
n10， 则有2剟n10．n?N． 综合可得：1剟【归纳与总结】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，AA1?4，AB?2，?BAD?60?，
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天道酬勤 真题汇编 E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN//平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离．
【思路分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN//平面C1DE．
uuurr（2）求出DC?(?1，3，0)，平面C1DE的法向量n?(4，0，1)，利用向量法能求出点C到平面C1DE的距离．
【解答】证明：（1）Q直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1?4，AB?2，?BAD?60?，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
?DD1?平面ABCD，DE?AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， M(1，3，2)，N(1，0，2)，D(0，0，0)，E(0，3，0)，C1(?1，3，4)， uuuuruuuuruuurMN?(0，?3，0)，DC1?(?1,3,4)，DE?(0,3,0)，
r设平面C1DE的法向量n?(x，y，z)，
rruuuu??ngDC1??x?3y?4z?0则?ruuu， r??ngDE?3y?0r取z?1，得n?(4，0，1)， uuuurrQMNgn?0，MN??平面C1DE， uuur解：（2）C(?1，3，0)，DC?(?1，3，0)，
r平面C1DE的法向量n?(4，0，1)，
?点C到平面C1DE的距离：
?MN//平面C1DE．
uuurr|DCgn|4417d???． r|n|171714
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【归纳与总结】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（12分）已知函数f(x)?2sinx?xcosx?x，f?(x)为f(x)的导数． （1）证明：f?(x)在区间(0,?)存在唯一零点； （2）若x?[0，?]时，f(x)…ax，求a的取值范围．
【思路分析】（1）令g(x)?f?(x)，对g(x)再求导，研究其在(0,?)上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；
（2）利用（1）的结论，可设f?(x)的零点为x0，并结合f?(x)的正负分析得到f(x)的情况，作出图示，得出结论．
【解析】：（1）证明：Qf(x)?2sinx?xcosx?x， ?f?(x)?2cosx?cosx?xsinx?1 ?cosx?xsinx?1，
令g(x)?cosx?xsinx?1， 则g?(x)??sinx?sinx?xcosx
?xcosx，
当x?(0,)时，xcosx?0，
2当x?(,?)时，xcosx?0，
2????当x?时，极大值为g()??1?0，
222又g(0)?0，g(?)??2， ?g(x)在(0,?)上有唯一零点，
??即f?(x)在(0,?)上有唯一零点；
（2）由（1）知，f?(x)在(0,?)上有唯一零点x0， 使得f?(x0)?0， 且f?(x)在(0,x0)为正，
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天道酬勤 真题汇编 在(x0，?)为负，
?f(x)在[0，x0]递增，在[x0，?]递减，
结合f(0)?0，f(?)?0， 可知f(x)在[0，?]上非负， 令h(x)?ax， 作出图示， Qf(x)…h(x)，
?a?0．
【归纳与总结】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难度较大．
21．（12分）已知点A，|AB|?4，eM过点A，B关于坐标原点O对称，B且与直线x?2?0相切．
（1）若A在直线x?y?0上，求eM的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|?|MP|为定值？并说明理由．
【思路分析】（1）由条件知点M在线段AB的中垂线x?y?0上，设圆的方程为eM的方程为(x?a)2?(y?a)2?R2(R?0)，然后根据圆与直线x?2?0相切和圆心到直线x?y?0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；
（2）设M的坐标为(x,y)，然后根据条件的到圆心M的轨迹方程为y2?4x，然后根据抛物线的定义即可得到定点．
【解析】：QeM故点A，B且A在直线x?y?0上，
?点M在线段AB的中垂线x?y?0上，
设eM的方程为：(x?a)2?(y?a)2?R2(R?0)，则
|2a|圆心M(a,a)到直线x?y?0的距离d?，
2又|AB|?4，?在Rt?OMB中，
1d2?(|AB|)2?R2，
2|2a|2)?4?R2① 即(2又QeM与x??2相切，?|a?2|?R②
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