《固体物理学》习题解答

第一章

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=

2a 23a 2对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=

那么，

6Rf2a== 3Rb3a1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，

a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？

答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

正方 六方 矩形 带心矩形 平行四边形

a=b a=b a=b a≠b a≠b

a^b=90° a^b=90° a^b=120° a^b=90° a^b≠90°

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)

答：证明

设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此

a1no?hda2no?kd ……… (1) a3no?id由于a3=–（a1+ a2）

a3no??(a1?a3)no

把（1）式的关系代入，即得

id??(hd?kd) i??(h?k)

根据上面的证明，可以转换晶面族为

1)(（001）→（0001），3→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，

（010）→(0110)，(213)→(2133)

1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：

3?2?2??（2）体心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆积：（5）金刚石：

86663?。 16答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：

Z?Ni?111Nf?Ne?Nc 248边长为a的立方晶胞中堆积比率为

4r3F?Z*?3

3a假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：

4/3?r3?θ= =

(2r)36（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为4r，那么： 32?(4/3?r3)θ= = 3(4/3r)3? 8（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么：

4?(4/3?r3)θ= = 3(22r)2? 6（4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此

42?(?r3)2?3θ== 632ac2（5）对于金刚石结构

4r34333?)=Z=8 a3?8r 那么F?Z*?3?8???(.

3a38161.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），

此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位矢量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？

（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3k。

-10

显然，a、b、c′构成一个边长为3*10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

（2）晶胞的体积= c?(a?b)= 3k(3i?3j)=27*10(m)

-30

3

原胞的体积=c(a?b)=

1(3i?3j?3k)(3i?3j)=13.5*10-30(m3) 23a3aai?j，b??ai?j，c?ck 22221.7 六方晶胞的基失为：a?求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.

答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c）=

32ac 2那么，倒格子的基矢为b1?2?2?2?2?(b?c)2?2?(c?a)?i?j ，b2???i?j ，

aa??3a3ab3?2?(a?b)2??k ?c其第一布里渊区如图所示：(略)

1.8 若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为

dhkl?1

hkl()2?()2?()2abc答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距

分别为

a1a2a3，，。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是 hkln?dhdkdlx?y?z a1a2a3这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到

(dh2dk2dl2)?()?()?1 a1a2a3h2k2l2?1故d?[()?()?()]2

a1a2a31.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ

如下 序号 θ/（°） 1 19.611 2 28.136 3 35.156 4 41.156 5 47.769 已知钽为体心立方结构，试求： （1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距；

（3）利用上两项结果计算晶格常数.

答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：

I?Fhkl|?f2[1?cos?n(h?k?l)]2?f2sin2?n(h?k?l)

考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式

2dhklsin???(n?1)

得 d110?同法得

?2sin?1?1.5405?10?2.295?10(m) o2sin19.611d200??2sin?2?1.6334?10?10(m)

d211??2sin?3?1.3377?10?10(m)

d220??2sin?3?1.1609?10?10(m)

d310??2sin?4?1.0403?10?10(m)

应用立方晶系面间距公式

dhkl?ah?k?l222 可得晶格常数a?dhklh2?k2?l2 把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为

3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897

取其平均值则得

a?3.2725?10?10(m)

1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.

答：参看下图，晶体点阵初基矢量为a1?ai

a2?用正交关系式biaj?2??ij?13ai?aj 22

?0i?j2?i?j

,求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 b1?b1xi?b1yj b2?b2xi?b2yj

由b1a1?2? b1a2?0 b2a1?0 b2a2?2? 得到下面四个方程式

ai(b1xi?b1yj)?2? （1）

13(ai?aj)(b1xi?b1yj)?0 （2） 22ai(b2xi?b2yj)?0 （3）

13(ai?aj)(b2xi?b2yj)?2? （4） 22由（1）式可得：b1x?2? a2? 3a由（2）式可得：b1y??由（3）式可得：b2x?0 由（4）式可得：b2y?于是得出倒易点阵基矢

4? 3ab1?2?2?4?i?j b2?j a3a3a

第二章

2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为??2ln2. 证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

?r???j(?1)1111?2[????... ]rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111

??2[1????...]2342xx3x4???... n(1?x)?x?x34111???...?234n当X=1时，有1?2 ???2n22.3 若一晶体的相互作用能可以表示为u(r)???rm??rn

求 1）平衡间距r0 2）结合能W（单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取

m?2,n?10,rnm,W?4eV ，计算?,?值。 0?0.3解 1）晶体内能U(r)?N??(?m?n) 2rr1n?n?m?n?)m ?0 ?m?1?n?1?0 r0?(r0r0m?dU 平衡条件

drr?r02) 单个原子的结合能W??1u(r0) 2?mn?m1mn?)( u(r0)?(?m?n) W??(1?2nm?rrr?r0??)

?2U)V?V0 3) 体弹性模量K?(?V20晶体的体积V?NAr—— A为常数，N为原胞数目

3N??(?m?n) 2rrNm?n?1(m?1?n?1) ? 2rr3NAr2晶体内能U(r)??2UN?r?m?n?1?[(?)]

?V22?V?rrm?1rn?13NAr2?2U)?V0 体弹性模量K?(2V0?V?2U

?V2由平衡条件

V?V0N1m2?n2?m?n??[?m?n?m?n] 229V0r0r0r0r0?U?V?V?V0Nm?n?1(m?1?n?1)?0 22r0r03NAr0

m?n??n mr0r0?2U

?V2V?V0N1m2?n2??[?m?n] 29V02r0r0?2UN??U?(??) )?V体弹性模量K?( 0V02r0mr0n?V20?2U

?V2?2U

?V2（

V?V0N1m2?n2??[?m?n] 29V02r0r0N1m?n?[?m?n] 2mn29V0r0r0?V?V0m?n?Nnm?????[??] ） r0mr0n29V02r0mr0n?2U?V2?V?V0mnmnK?U(?U) 009V09V02?mn?m1n?n?1mn?m?n?)m W??(1?)(4）m?n r0?(r0r0m?2nm?)

??W10?95?10eV?m1 0r0 ??1.182??r02[?r010209eV?m ?2W] ??9.0?1?12.6．用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构

中的结合能之比值．

??(解 u(r)?4?r??12)??6?1??(?)ur,?()N??(A4n)r?2r?12?(Al)r??6 (??)2A6A1261?du(r)?6??u0??N????0?r0?2A62A12?r?r

??bccu(r0)bccA62A612.252/9.11??()/()??0.957 2??fccu(r0)fccA12A1214.45/12.132.7．对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为??50?10J,??2.96A.计算

?6H2结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处

理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．

解 以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：

6???12???12?????6?U?2N???Pij????Pij???.

?R??R??j??i??j?P?6?14.45392;??Pij?12?12.13188,iji??50?10?16erg,??2.96A,N?6.022?1023/mol.将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为U?2?6。022?10/mol?50?1028?16126??2.96??2.96??erg???12.13?????14.45??????2.55KJ/mol.3.163.16????????因此，计算得到的H2晶体的结合能为2.55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．

对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．

第三章 习题答案

3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10

－1

力常数β＝15N·m 解：一维单原子链的解为Xn?Aei(?t?qna)

据周期边界条件 X1?XN?1，此处N=5,代入上式即得 e?i(5a)q－27

kg，恢复

?1

所以 5aq＝2??（?为整数） 由于格波波矢取值范围：??a?q??a。 则 ?55??? 22 故?可取－2，－1，0，1，2这五个值 相应波矢：? 由于??4?2?2?4?,?,0, , 5a5a5a5a4?qa，代入?，m及q值 sinm2 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 13131313

8.06×10，4.99×10，0，4.99×10，8.06×10

3.2 求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 ?????2N?(???)2m2?12 式中?m?4?m是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为

N

??2??q?dq 解：对一维单原子链，dN??(?)d????q?dq 所以?????2??q?d? （1）

dq 由色散关系??

d??dq4?qa 求得 sinm2a4?4?aqa(1?sin2)1/2?[()??2]1/2 （2）

2mm224?qaacos??m22 而??q?? ????? 由于

LNa?， 则由（1）式可得 2?2?a4?2N2[??2]1/2?(?m??2)?1/2 2m?2Na2?4???m ，则总的振动模数为 mwm0 N?????d????wm2N0?2(?m??2)?1/2d?

令

??sin?，则积分限为0到?/2 ， 故 ?m? N??202???cos???1cos?d??2N????N

023.3 设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为?????9N?3m?2

3?2解：由书上（3－69）式可得 ?????g???v?23 （1）

2?v由（3－71）可得 ?D??m??6?2n?v

1/333n ，代入（1）式得 由此可得 2?2v3??m?????9N?3m?2

－27

3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10

－1

β＝15N·m，试求

?kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数

（1） 光学波的最高频率和最低频率?max和?min； （2） 声学波的最高频率?max； （3） 相应的声子能量（以eV为单位）；

（4） 在300K可以激发频率为?max，?min和?max的声子的数目； （5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：（1）???A??AMm4?m

M?m5? ?max?2???6.70?1013rad/sec?1.07?1013Hz

?min??2??5.99?1013rad/sec?0.95?1013Hz m2??3.00?1013rad/sec?0.48?1013Hz M ?max?A??4.41?10?2eV （2）??max??3.95?10?2eV ??minA?1.97?10?2eV ??max （3）n?1e?w/kT?1

??0.221， n ?n?max??min?0.276 ，

An?max?0.873

（4）?光速c??v ，???cc?2????2.8?10?5m?28?m v?max3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于?和10?， 且

最近邻的距离为a/2，试画出色散关系曲线，并给出q?0和q???/a处的??q?。 解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，

β 10β β 10β a 2m x2n-1 x2n x2n+1 x2n+2 ?2n?10??x2n?1?x2n????x2n?x2n?1?x?m?原子的运动方程应是?

??????mx??x?x??x?x2n?22n?12n?12n?2n?1?2n???10x2n?1?x2n?1?11x2n? x即 m??2n?1???x2n?2?10x2n?11x2n?1? x m? 求格波解， 令 x2n?Aeqa??i??2n???t?2??qa??i??2n?1???t?2??，x2n?1?Be

代入运动方程，可导出线性方程组为：

??11??2???A?10eiqa/2?e?iqa/2B?0?????mm? ??11?????eiqa/2?10e?iqa/2A????2?B?0??m??m????令

?m2??0，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得

?11?204??2??0(10eiqa/2?e?iqa/2)(eiqa/2?10e?iqa/2)?0

?2??可解出

211?20coqas?101 色散关系见下图 ?2??0??q?0时，cosqa?1，???22?0，???0

q???a时，cosqa??1，???20?0，???2?0

3.6．在一维双原子链中，如Mm??1，求证

?1??2?2?sinqa M2?m(1?cos2qa) m2M

[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 ?1?2?Mm?m?M?{1?[1?4mM21/2sinqa]} 2(m?M) ?M??m，? 得?1? ? ??1?24mM ??1 由近似式?1?x?n?1?nx，(当x??1）mM{1?[1?14mM21/2sinqa]} 22(m?M)2??m?M?mM2?2?sin2qa?sin2qa，

m?MM2?sinqa M 对?2，由于M??m，M?m?M ?2?2?(m?M)mM{1?[1?4mM?sinqa?]1/2} 2(M?m) ??m{1?[(M?m24Mm4Mm21/2)??cosqa]} 22M?m?M?m??M?m? ??m{1?[(M?m24m)?cos2qa]1/2}

M?mM ? ??m{1?1?14mco2sqa} 2M2?m{1?co2sqa} mM ??2?2?m1?cos2qa?mM2?m(1?cos2qa) m2M3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界q???2a处，声学支格波中所有

轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。 [证] 由（3－18）第一式得

A2?cosqa?? ，当 时 cosqa?0 且对声学q??B2??m?22a?2??支?????M?

1/2，代入上式即得：

A0??0 ，故A＝0， 轻原子静止

mB2??2?MB2?cosqa?? ，当 时cosqa?0 q??2A2??M?2a1/2 再由（3－18）第二式得

?2?? 且对光学支，????M??

，代入上式即得

B0??0 故B＝0， 重原子静止

mA2??2?M3.8 设固体的熔点Tm对应原子的振幅等于原子间距a的10％的振动，推证，对于简单晶格，

2?50kBTm?接近熔点时原子的振动频率????a?M?21/2，其中M是原子质量。

[解] 当质量为M的原子以频率?及等于原子间距a的10％的振幅振动时，其振动能为：

11?a?原子的能量可按照能量均分定理处理，E?M?2A2?M?2?? 在熔点Tm时，

2210??1?a?即一个一维原子的平均能量为kBTm，于是有M?2???kBTm，由此得

2?10?2?50kBTm?????a?M?1/22

1??D?3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容Cv?3NkB[1???]

20?T?433VckBT证明：由书可知Cv?2?2?3v3p2??DT0?eexx4dxx?1?2

在高温时，T???D，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为

?x4x4x2x2?2??x/2???x?1??222?x/2?? x3xe?e12e?1???x?1???x??1224???exx4???433VckBT 将上式代入Cv的表达式，得Cv?2?2?3v3p?1??D?31??D?5?????? ??3T60T????????32?1??D???? ?1???20?T????433VckBT1??D? ???2?2?3v33T??p????N? 将 ?D?D??6?2?vp

kBkB?Vc?2?1??D?? 代入上式得 Cv?3NkB?1????

?20?T????1/33.10 设晶格中每个振子的零点振动能为

??，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 23V?2 解：由（3－69）式知，状态密度?????g???V?

2?2v3 则 E0???D0?0????d????D013V?2??d? 22?2v3?3?V1?D33?V4D ??d???

4?2v3?016?2v30 ?3?V4?D 2316?v1/3V?? ??D??6?2?v

N?? ?E0?3?V92N3?6?v???N?D D16?2v3V83.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下

其比热正比于T

2

证明：此题可推广到任意维m，由于 dN?g?q?dq?Cdqm?C1qm?1dq?g???d?

?1 ?g????C1qm?1???d???dq???

而德拜模型中??vq，故g????qm?1??m?1

?C????2e??kBTg???d?v??kB???kBT????e??kBT?1?2 令

??kT?x，则上式变为 Cexxm?1xpexxm?1v??Tm?1T?ex?1?2dx?Tm?0?ex?1?2dx

在低温时 x??DD?kT?? 则积分

???exxm?10ex?1?2dx 为一个于T无关的常数

故 Cmv?T 对三维 m＝3 Cv?T3

对本题研究的二维 m＝2 Cv?T2 对一维 m＝1 Cv?T

3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为U?r???e2r?bra， b为待定常数，衡间距r?100?3?10m，求线膨胀系数。

解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 ??3gk4?Bf2r 0 其中：f?1???d2U??2??dr2???，g??1??d3Ur03!??dr3??? r0

由平衡条件??dU?e29be28?dr???2?10?0 ?b?r0r0r09r0

??2e290b4e2 ?f1?6e22r3?11?3， g????990b?52e212??02r0r06??r40r0??3r4 0平 ?8?10 由于 r0?3?10cm ，e?4.806?10CGSE

kB?1.381?10?16erg/K ???13r0kB?1.46?10?5/K 216e3.13 已知三维晶体在q?0附近一支光学波的色散关系为

222? ， 试求格波的频谱密度???? ??q???0??Aqx?Bqy?Cqz22 解：??0???Aqx?Bq2y?Cqz

222qyqxqz???1 则

?0???0???0??ABC 这是q空间的一个椭球面，其体积为?abc，而

43 a??0??A1/2，b??0??B1/2，c?3?0??C1/2

V?L? q空间内的状态密度??q????? ，故椭球内的总状态数N为 32?(2?)??V4??1? N?????2??33?ABC?1/2?0??1/23/2

1/2dNV?1? 故 ??????2??d?4??ABC?

?0??1/2V????204?ABC

第四章

4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？

答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.（略）

4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？

答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式

?n?ekBT NEu可得

n?eN?0.67?1.6?10?191.38?10?23?300=5.682*10-12

15

4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。 答：由公式

v?voe可得

?EakBT

0.1eVv?voe?1.38?10?23?300=2*10*0.02=4*10

1513

4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；

（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。 答：

（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为

W1?N!

(N?n)!n!同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是

W2?N!

(N?n)!n!于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数

W?WW12?[N!]2

(N?n)!n!由此而引起晶体熵的增量为

?S?kBInW?2kBInN!

(N?n)!n!设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变

?F??U?T?S?nw?2kBTIn热平衡时，((N! （1）

(N?n)!n!??F)T?0，并应用斯特令公式InN!?NInN?n，从（1）式得 ?n??F?N?n)T?w?2kBT[NInN?(N?n)In(N?n)?nInn]?w?2kBT[In(N?n)?Inn]?w?2kBTIn?0 ?n?nnn?e2kBT N?n因为实际上N?n，于是得

n/N=Bexp（-W/2kBT）

（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是?V?2na 式中a为离子最近邻距离。因为V?2Na为晶体原有的体积，有上式可得

33?w?V2na3n?? V2Na3N4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：D?Doe下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：

T/K D/m·s 2-1?EA/kBT

878 1.6*10 -201007 4.0*10 -181176 1.1*10 -181253 4.0*10 -171322 1.0*10 -16试确定常数Do和扩散激活能EA. 答：（略）

4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式

?n?ekBT NEu?n?5?e8.6?10?1000?0.03 可得：对于铜N2.80.3?n?5?e8.6?10?1000?7.247?10?15 对于硅N4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当

温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。 答：（略） 4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。

答：如图所示：

4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。

答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。

（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则

|b|?3a 2（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即

|b|?2a 2（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a，因此，

|b|?a

4.11在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为[112]，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为b?还是螺位错。 （略）

1并问该位错是刃位错[110]。试确定该滑移面的晶面指数，

2第五章 自由电子近似

5.1已知银是单价金属，费米面近似球面，银的密度?m=10.5?103kg ? m?3，原子量A=107.87，电阻率在295K时为1.61?10?3? ? m，在20K时为0.0038?10?3? ? m。试计算：（1）费米能级和费米温度；（2）费米球半径；（3）费米速度；（4）费米球的最大截面积；（5）室温下和绝对零度附近电子的平均自由程。 解：

因为银是第47号元素，Z = 47，每立方厘米的电子数为

n?6.02?1023?Z?m47?10.5?6.02?1023??27.54?1023 A107.87费米球半径 kF?3?2n2?2kF??1/3?3?3.142?27.54?1023??1/3?9?108cm?1

1?10?68?81?1020?172??4.45?10J?2.34?10eV 费米能级EF??312m2?9.1?10?kF1?10?34?9?1010??1?107m/s 由 mv??kF 知费米速度 vF??31m9.1?102费米球的最大截面积 S??kF?3.14?92?1016?2.54?1018cm?1

??2室温下的电子的平均自由程 电子的平均能量

??kBT??1.38?10?23?300?6.21?10?21J

2??me10?14s

，

3232电子的平均速度v?间

2?6.21?10?215?1.17?10m/s，室温下电子的平均自由时?319.1?10因

此

室

温

下

电

子

的

平

均

自

由

程

? 约为

??v???1.17?105?10?14?1.17?10?9m?1.17nm

绝对零度附近电子的平均自由程 电子的平均能量

???F?4.47?10?21J

2??me10?9s

35电子的平均速度v?间

2?4.47?10?21?1?105m/s，绝对零度时电子的平均自由时?319.1?10，

因

此

室

温

下

电

子

的

平

均

自

由

程

? 约为

??v???1?105?10?9?1?10?4m?0.1mm。

5.2 （1）求出二维情况下电子浓度n 和kF的关系式；（2）求出二维情况下rs和kF的关系式；（3）证明在二维情况下，g(?)=常量，当?>0，或者g(?)=0，当?<0，并求出这个常量的值。 解：

（1）在自由电子近似下，因为单位面积的二维晶格的状态密度函数为 g(?)?2me，K空2??间半径是kF的圆内的电子状态数亦即二维晶格的电子数密度为

2n?2?g(?)??kF?2?2me2 ??kF2??（2）在自由电子近似下，每个电子占有的体积为

143??rs n3解得rs???3??4?n??S1/3?3?2???16?mek2F?2S????1/3

（3）在自由电子近似下，二维晶格的K空间的k~k+dk圆环内的电子状态数为

?2k2 dN(k)?2?2?2?kdk??kdk，由于 ???2?2me2me?即 dN(?)?2??2?2?2S??2k2?2meSd??2m?????2d?

e??所以单位面积的二维晶格K空间的状态密度函数g(?)

g(?)?1dN(?)2me?2

Sd???

5.3证明单位体积的固体内费米能级EF处的状态密度函数可以写为

3n?dZ????F ?dE?EF2EF其中n是费米面上的电子浓度。 解：

在自由电子近似下，单位体积的固体对应的K空间的半径是k的球体内的电子状态数为

431?2meE?n(E)???k???(2?)333?2??2?2状态密度函数g(E)的表示式为

3/23/2

dN(E)1?2me?g(E)???2?2dE2????当E=EF时

E1/2

g(EF)?dN(E)dE?E?EF1?2me??2?22????3/2EF1/21?2me???3?2??2???2EF3/2EF3/2?3n(EF)。 2EF5.4试用驻波条件讨论k的取值。求g(?)，并与周期性边界条件比较。 解：

?22在自由电子近似下，电子在无限深势阱中的薛定谔方程为????E?

2me按照分离变数法原理，上述方程可写为

?2d2?2d2?2d2??x?Ex?x， ??y?Ey?y， ??z?Ez?z 2222medx2medy2medz上述三个方程的解

?x?Cxeikxx； ?y?Cyeikyy； ?z?Czeikzz ，Cy?由归一化条件：??dV?1，知： Cx?V?*1L1L，Cz?1L

有边界条件：?xx?0,x?L?0，?y1Ly?0,y?L?0，?zz?0,z?L?0 得ki??niL，这里ni是正整

数，i= x，y，z，所以?x?sin?nxLx；?y?1Lsin?nyLy； ?z?1L

sin?nzLz

每一个状态点占有的K空间的体积是 ????kx?ky?kz?K空间态密度为

?3L3??3V1V?3 ???2V?2m?K空间k~k+dk壳层内的电子状态数为 dN?34?k2dk?2?2??????1dN2?2m?所以 g(?)??2?2?VdE????3/2V3/2E1/2dE

E1/2?E1/2

3/21dN*8?2m?*周期性边界条件下， g(?)??2?2?VdE????E1/2?E1/2

比较g(?)和g(?)*，得g(?)* = 8g(?)。这是由于在驻波条件下，ni只能取正数，而在周期边界条件下ni可以取正负整数。

5.5电子处在体积V的正交六面体小盒子中，借助测不准关系确定在动量区间p~p+dp或能量区间E~E+dE中电子的量子态数，求动量和能量分别小于p0和E0的电子态总数。 解：

dN2V?2m?因为体积为V的电子体系中的能态密度为 ???dE?2??2?dNdNdpp2?由 ，以及 E?， dEdpdE2m3/2E1/2

dN得 dN?dEdNdE2V?2m?dp?dp = 2?2?dpdEdp????dE3/22p2?2m?3/24Vp2dp?22dp

??1/3有测不准关系，?r??p~?，电子位置的不确定 ?r~V，电子动量的不确定性

?p~?V1/3，所以在动量区间p~p+dp或能量区间E~E+dE中电子的量子态数为

4Vp24Vp2?4V2/3p2dN?22dp?221/3?

????V?2?动量和能量分别小于p和E的电子态总数Np

Np?P0或E4Vp34Vp2??dp?202 23??0??p0

5.6电子在边长为L的方匣中运动，求出它的前4个不同能级的所有波函数，给出各能级的能量和简并度。 解：

??22??电子在方势阱中运动时的薛定谔方程是 ????E????0 2m??假定为可分离变数情形，? = ?x?y?z，E = Ex+Ey+Ez

?2?x2m?2Ex?x?0 薛定谔方程通过变数分离变为 2?x??2?y?y2?2mEy?y?0 2??2?z2m?2Ez?z?0 ?z2?令 kx?22m2m2m22，，Ek?Ek?Ez xyyz?2?2?2关于?x的通解可以写成 ?x?Asinkxx?Bcoskxx 由边界条件 ?xx?0??xx?L?0，所以B = 0，

l1?，这里l1是整数，l1 = 1，2，3……。 L得到 kxL?l1?，即 kx?类似可得 ky?l?l2?，kz?3。l2和l3是整数，l2，l3 = 1，2，3……。 LL电子的波函数 ??Dsinl?l1?lxsin2ysin3z， LLL3/2?2??归一化系数D???*???d??L?1

?2?2222?2?22l?l2?l3?n。 电子的能量 E?Ex?Ey?Ez?2122mL2mL??基态 (l1， l2，l3) = (1，1，1)，n2 = 3，??Dsin?Lxsin?Lysin?Lz

3?2?2E? 22mL简并度 = 1。

第一激发态(l1， l2，l3) = (1，1，2)，或 (1，2，1)，或(2，1，1)，n2 = 6，

?2??1????L?3/2sin3/2?Lxsin?Lysin2?z L?2??2????L??2??3????L?sin3/2?Lxsin2??ysinz LLsin2???xsinysinz LLL6?2?2E? 22mL简并度 = 3。

第二激发态(l1， l2，l3) = (1，2，2)，或 (2，1，2)，或(2，2，1)，n2 = 9，

?2??1????L?3/2sin3/2?Lxsin2?2?ysinz LL?2??2????L??2??3????L?sin3/22??2?xsinysinz LLL2?2??xsinysinz LLLsin9?2?2E? 22mL简并度 = 3

第三激发态(l1， l2，l3) = (1，1，3)，或 (1，3，1)，或(3，1，1)，n2 = 11，

?2??1????L?3/2sin3/2?Lxsin?Lysin3?z L?2??2????L??2??3????L?sin3/2?Lxsin3?1?ysinz LLsin3???xsinysinz LLL11?2?2E?

2mL2简并度 = 3

5.7限制在边长为L的正方形势阱中运动的N个二维自由电子气能量为

?222E(kx,ky)?(kx?ky)，试求能量在E~E+dE间的状态数及费米能。

2m解：

?222mE222(kx?ky)，得 kx由 E(kx,ky)??ky?2 2m?K空间能量为E的等能线围成的圆的面积为 S?能量在E~E+dE圆环的面积为 dS?2?mE 2?2?mdE 2?22mL22?m?2mL?相应的状态数为 dn??dE??2?dE 22???????2mL?体系内的能量在E~E+dE间的电子数为 dN?2?2?dE

????2mL??2mL?体系的总电子数为N??2?2?dE?2?2?EF

????0??EF222??2?体系的费米能为 EF?N??8mL??

??5.8铜中电子的驰豫时间为2.3?10?14s，试计算300K时的热导率，如果在273K时铜的电阻率

为1.5?10?8??m，试估计它在同一温度下的热导率。 解：

铜的导电是由于铜晶体中的电子输运，按照德鲁特经典电子模型，?是电子的平均速度，约为105m/s，?是电子的驰豫时间，其热导率为 ??21Cvv2? 3300K时铜的热导率为 297K时铜的驰豫时间为

???0.39?103?1010?2.3?10?14?0.299

13me9.1?10?31?14 ????2.8?10s 2?822?38?ne1.5?10?8.47?10?2.56?10297K时铜的热导率为

???0.39?103?1010?2.8?10?14?0.364

13

5.9已知钠是bcc结构，点阵常数a = 4.28?，试用自由电子模型计算霍尔系数。 解：

因为钠是bcc结构，有题知点阵常数是a = 4.28?，其固体物理学元胞内的钠原子数为2。每个钠原子提供一个电子，则钠晶体内的电子密度为

n?2?4.28?10??103?2?1030?2.6?1030m3 78.411?10 ????2.4?1030?19ne2.6?10?1.6?10金属钠的霍尔系数为 RH??

5.10若热电子发射电子垂直金属表面的平均动能是kBT，则平行于表面的平均能量也是kBT。 解：

由波尔兹曼分布率知，能量在v~ v+dv范围内的电子的数量为 （应该为E~E+dE） (v?vx?vy?vz,dv?dvxdvydvz)

2222?m?dN?N?4???2?kT??B??3/2e?mv2/2kBTv2dv

电子的均方平均速度 v电子的平均动能

2???0v2Nf(v)dvN??v2f(v)dv?0?3kBT m??mv2?kBT

12321?，遵从费米-狄拉克统计规律，每个能级上有两个自旋相反的22电子，电子在垂直于表面方向的平均能量为?*????kBT

3由于电子的自旋角动量是?同理可说明，平行于表面的平均能量也是kBT。

第六章 习题解答

6.1 一维周期场中电子的波函数?k?x?应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函数为

x a3? （2）?k?x??icosx

a （3）?k?x??（1）?k?x??sin?i????f?x??a? （f是某个确定的函数）

? 试求电子在这些状态的波矢

ika解：布洛赫函数为?k?x?a??e?k?x?

（1）sin?(x?a)?sin(x??)??sinx aaa?? ?sin ?eika?a(x?a)?eikasin?ax

??1 ，ka??? ，k???a

（2）icos3?3?3???x?a??icos?x?3????icosx ?aaa??ika 同理，?e???1 ，ka??? ，k????a

（3）

?????f?x??a?a???f?x?(??1)a?

?????'??? ?ika?f?x??'a???f?x??a? 此处?'???1

?????? e?1，ka?0或2? ，k?0或2? a?2?71??coska?cos2ka6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成E?k????，式中a2ma?88?是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，

（3） 在带顶和带底的电子的有效质量

?Emi， 解：能带宽度为 ?E?Emaxn 由极值条件

sinka?dE?k??0， 得

dk11sin2ka?sinka?sinkacoska?0 42 上式的唯一解是sinka?0的解，此式在第一布里渊区内的解为k?0或

当k＝0时，E?k?取极小值Emin，且有Emin?E?0??0

2???2?当k?时，E?k?取极大值Emax ，且有Emax?E??? 2amaa???a

? 由以上的可得能带宽度为?E?Emax?Emin2?2? ma2 （2）电子的平均速度为v?1dE?k???1???sinka?sin2ka?

?dkma?4? （3）带顶和带底电子的有效质量分别为 m????1??2?12????2??m?coska?cos2ka???m

23????E??2k???a??k??k???ak???a m?k?0???12???1????2??m?coska?cos2ka?0?2m

2????E?2????k?k?06.3 一维周期势场为

?1?mW2b2??x?na?2 V?x???2?0???当na?b?x?na?b当(n?1)a?b?x?na?b，

其中a?4b ，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度

解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 Eg?2Vn ，

其中Vn是周期势场V?x?傅立叶级数的系数，该系数为：

?i1a/2??V?Vxe na?a/2?2?nxadx

求得，第一禁带宽度为

1a/2?iaxdx Eg1?2V1?2V?x?ea?a/2?2?1 ?24b??inxmW22b?x2eadx

?b2b??2?1 ?24b?mW22???b?x2cos?x?dx

?b22b??b?? ? 第二禁带宽度为

8mW2b2?3

1a/2?iV?x?e Eg1?2V2?2a?a/2?4?xadx

1 ?24b??ixmW22b?x2eadx

?b2b???1 ?24b?mW22???b?x2cos?x?dx

?b2?b?b?? ?mW2b2?2

6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出E?k?，m??k?与

波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。

解： 根据紧束缚近似， E?k??E0?J0?J1?eRsika

对一维，最近邻Rs??a

ika?ika 则 E?k??E0?J0?J1e?e

?? ?E0?J0?J1coska E?k?为余弦函数 （图省）

?2?2 有效质量 m?2? 2?E2J1acoska?k2??? m??k?的图也省

在原点附近，ka很小，coska?1 ?m???22J1a2 在布里渊区边界，k?? ?m???2???a，ka???，coska??1

???2 ?2J1a?2J1a22?

6.5 某晶体电子的等能面是椭球面

2?2?k12k2k32??? E?，坐标轴1，2，3互相垂直。 ????2?m1m2m3?求能态密度。

解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为

2k12k2k32???1

2m1E2m2E2m3E?2?2?2x2y2z2 将上式与椭球公式2?2?2?1

abc比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积

4?abc 比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积 342 ???32m1m2m3E3/2

3? 由上式可得

4? d??3?2m1m2m3E1/2dE

能量区间E??E?dE?内电子的状态数目 dz?2VcVcd??2m1m2m3E1/2dE 323???2?? Vc是晶体体积，电子的能态密度 N?E??dzV?2c32m1m2m3E1/2 dE??6.6 已知能带为：E?k????cosakx?cosaky??cosakz

其中??0，??0，a为晶格常数，试求 （1） 能带宽度

??（2） 电子在波矢

?2a(1,1,1)状态下的速度

（3） 能带底附近电子的能态密度

解：（1）

?E?a?sinakx?0，?kxa?n? ?kx?E?a?sinaky?0，?kya?n? ?ky?E?a?sinakz?0，?kza?n? ?kz可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值

?E顶＝????1＋??1???????1?＝2??? ＝?2??? E底＝???1?1????1故，能带宽度?E?E顶?E底＝4??2? （2）v?vxi?vyj?vzk 其中 vx? vy? vz?1?E1??asinakx ??kx?1?E1??asinaky ??ky?1?E1?a?sinakz ??kz? 在k??2a(1,1,1)时 1?a ? vx?vy? vz?1a? ?1 ?v??a??i?j??a?k?

?（3） 能带底n为偶数，可取为零，故kxa，kya，kza均很小

x2据cosx?1? (x??1)

2有E?k??????1? ??2????????122??122???1?kxa???1?kya?????1?kz2a2? 2??2???2?2?a2kx2?2?a2ky2??a2kz22

22kykxkz2 ?E?2???? ??222?a2?a2?a2 用和6.5题相同的方法，其中

2222m?，，， E?E?2???m?m?3122222?a??a?a1/2?2?1则：??E??2?2?E?2??????????

6.7 用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能

带，计算电子的速度及有效质量张量。

解：?E?k??E0?J0?J1?eRsikRs

y x 对二维正三角晶格（如图），6个最近邻的坐标为

a?a,0?，??a,0?，??,?3??a3??a3??a3???????a?，?,?a?，??,a?，??,?a?? 22222222????????

代入上式并化简得：

??kxa3?E?k??E0?J0?J1?coskxa?2coscoskya?? 22??电子速度：v?vxi?vyj，其中

vx??1?E2J1a?ka3?sinkxa?sinxcoskya? ????kx??22???1?E23J1a?kxa3?vy??cossinkya??? ??ky??22?由于m????1ij1?2E ?2??kx?ky?a2J1?kxa3??2?2coskxa?coscoskya?? ??22??3a2J1?kxa3???coscoskay? 2???22? ?m????1xx m????1yy m????1xy??3a2J1?kxa3???sinsinkay? 2??22??

6.8 用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带

（1） 证明在k＝0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。

（2） 画出[100]与[111]方向的E?k?曲线。 （3） 画出kx?ky平面内能量的等值线。 解：（1）?E?k??E0?J0?J1?eRsikRs

面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在

ia2a?2?0j?a2a2k0a ?2a?20?将这些Rs代入上式并简化可得：

kyakyakakakaka??E?k??E0?J0?4J1?cosxcos?coscosz?coszcosx? 在k＝

222222??x20附近，kx，ky，kz，均很小，利用cosx?1?，（x<<1, 则得

2??1?ka?2??1?ka?2??1?ka?2??1?ka?2????1??x???1??y????1??y???1??z???????2?2?????2?2??????2?2?????2?2????E?k??E0?J0?4J1?? 22??1?kza???1?kxa????1?1???????????2222?????????????????a?22故 E?k??E0?J0?4J1??kx?ky?kz2

?2?2??由于m????m???1??1ii1?2E8J1?a??2?22?2??? ??ki??2?2J1a2?其余mij?0

（2） 在[100]方向，ky?kz?0，则 E?k??E0?J0?4J1?8J1cosx

即可按此函数作图（图省）

ka2 在[111]方向，kx?ky?kz?k

?E?k??E0?J0?3?4J1cos2 可据上函数作图（图省）

（4） 在kx?ky平面内，kz?0 ?E?k??E0?J0?4J1??coskaka?E0?J0?12J1co2s 22??ka?kxa11 coskya?cosy?coskxa??2222? 等值线即 E?k??C （C为常数）

6.9 对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带

底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。

解：s态电子能带可表示为E?k??E0?J0?J1?eRsikRs

对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为：?aaa，?，? 222iakx?ky?kz2E?k??E0?J0?J1[e?eai?kx?ky?kz2iakx?ky?kz2???e?iakx?ky?kz2???e????eia?kx?ky?kz2??

???eai?kx?ky?kz2???eaikx?ky?kz2??eai?kx?ky?kz2?化简后即得：

故 E?k??E0?J0?8J1?cosxcoskyacoskza? 由于?1?cosx?1，可看出

为极大值，即Emin?8J1 而

kiaka?0，。即ki?0时，cosi?1 22kiaka??时，cosi??1

22??ka21212??为极小值，即 故带宽 在带底附近，由于，用，则

?a2222? ?E0?J0?8J1?1?(kx?ky?kz)?

8?? 这显然是一个球形 有效质量

?m???1?m????1ii1?2E2J1a2?2?， 2??ki?2所以 在带顶附近，可写为

kia????i，?i很小 2则coskia?12??cos(???i)??cos?i???1???i?? 2?2??1222??E?k??E0?J0?8J1?1???x????y????z??

?2?这显然也是个球形

2????ka??2x?????????21?E1??1?2J1a22????22?28J1????2， 2?????kx?2?kx???????????????而m?????m??1??1ii 6.10 金属铋的导带底部有效质量倒数张量为

?axx?1? m???0?0????10ayyayz0??ayz? azz???

求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质 解：m????的逆矩阵即为m矩阵，用矩阵计算方法，可求得

，

mxx?1axxm?yy??azz2ayyazz?ayz?，

?mzz??aayyyyzza?ayz2?，

?m??myzzy??aayzyyzza?ayz2? ， 其余为0

为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部附近泰勒展开（有用的仅二阶项），

?E1?2E?0，并假定能带底E＝0，在能带底一阶导数为0，即且2＝m??ki??ki?kj???1ij?aij

故有 显然等能面

是一个椭球面