实验1.3 用惯性秤测量质量

物理天平和分析天平是用来测量质量的仪器，但它们的原理都是基于引力平衡，因此测出的都是引力质量，为进一步加深对惯性质量概念的了解，本实验使用动态的方法，测量物体的惯性质量，以期与引力质量作出比较． 【实验目的】

1．掌握用惯性秤测定物体质量的原理和方法；

2．了解仪器的定标和使用。 【实验仪器】

惯性秤，周期测定仪，定标用标准质量块（共10块），待测圆柱体。 【实验原理】

根据牛顿第二定律F?ma，有m?F/a，把同一个力作用在不同物体上，并测出各自的加速度，就能确定物体的惯性质量。

常用惯性秤测量惯性质量，其结构如图1.3-1所示．惯性秤由平台(12)和秤台(13)组成，它们之间用两条相同的金属弹簧片(8)连接起来。平台由管制器(9)水平地固定在支撑杆上，秤台用来放置砝码和待测物(5)，此台开有一圆柱孔，该孔和砝码底座(包括小砝码和已知圆柱体)一起用以固定砝码组和待测物的位置。

图1.3-1 惯性秤示意图

当惯性秤水平固定后，将秤台沿水平方向拨动1 cm左右的距离，松开手后，秤台及其上面的物体将做水平的周期性振动，它们虽同时受到重力和秤臂的弹性恢复力的作用，但重力垂直于运动方向，对此运动不起作用，起作用的只有秤臂的弹性恢复力。在秤台上的负荷不大，且秤台位移很小的情况下，可以近似地认为秤台的运动是沿水平方向的简谐运动。

设秤台上的物体受到秤臂的弹性恢复力为F??kx，k为秤臂的劲度系数，x为秤台水平偏离平衡位置的距离，根据牛顿第二定律，运动方程为：

d2x?m0?mi?2??kx (1.3-1)

dt式中m0为空秤的惯性质量，mi为秤台上插入的砝码的惯性质量． 其振动周期T由下式决定

T?2?m0?mi (1.3-2) k 将式(1.3-2)两侧平方，改写成

4?24?2T?m0?mi (1.3-3)

kk2当秤台上负荷不大时，则上式表明惯性秤的水平振动周期T的k可看做常数，平方和附加质量线关系。当测出已知附加质量mi所对应的周期值Ti，可作T2?m直线图（图1.3-2），这就是该惯性秤的定标曲线。

图1.3-2 惯性秤的T2?m曲线

实验中为避免计算，通常采用作图法．直接从T2?m曲线图中查出待测物的惯性质量。方法如下：先测出空秤(其惯性质量m0)的水平振动周期T0，然后将具有相同惯性质量的砝码依次增加放在秤台上，测得一组分别对应的振动周期

T1，T2，…，Ti，画出相应的T2?m曲线图，如图1.3-2所示，测量某待测物的

质量mj时，只要将它放在砝码所在的位置上，测出其振动周期Tj，从T2?m曲线上即可找出对应于Tj的质量mj，至于mi中包括的m0，它是惯性秤空秤的惯性质量，是一个常数，在绘制T2?m曲线时，取m0作为横坐标的原点，这样作图或用图时就可以不必考虑m0了。

惯性秤必须严格水平安置，才能得到正确的结果，否则，秤的水平振动将受

到重力的影响，这时秤台除受到秤臂的弹性恢复力外，还要受到重力在水平方向的分力的作用，为研究重力对惯性秤的影响，可以分两种情况考虑：

1、惯性秤仍水平安置，将圆柱体用长为L的线吊在秤台的圆孔内，如图1.3-3所示，此时圆柱体重量由悬线所平衡，不再铅直地作用于秤臂上，若再让秤振动起来，由于被测物在偏离平衡位置后，其重力的水平分力作用于秤台上，从而使秤的振动周期有所变化，在位移x与悬线长L(由悬点到圆柱体中心的距离)相比较小，而且圆柱体与秤台圆孔间的摩擦阻力可以忽略时，作用于振动系统上的恢复力为(kx?mgx/L)，此时振动周期为

T??2?m0?mi (1.3-4) migk?L由(1.3-2)和(1.3-4)两式可见，后一种情况下秤臂的振动周期T比前一种要小一些，两者比值为

T?T?k?migL?1?mig (1.3-5) kkL

2、当秤臂铅直放置时，秤台的砝码(或被测物)的振动亦在铅直面内进行，由于重力的影响，其振动周期也会比水平放置小，若秤台中心至台座的距离为l(图1.3-4)，则振动系统的运动方程可以写成

m0?mi?d2xk?g?x (1.3-6) ?m0?mi?2????dtl??图1.3-3 惯性秤水平放置工作方式 图1.3-4 秤臂铅直安装工作方式

相应地周期可以写成

T???2?m0?mi (1.3-7)

m0?mik?gl将式(1.3-7)与式(1.3-2)比较，有

T?T??k?m0?migm?mil?1?0g (1.3-8)

kkl通过以上讨论可以看出重力对实验结果的影响．

【实验内容】

1、测定惯性秤水平放置时的定标曲线

(1)用水准仪校准惯性秤秤臂的水平，接好周期测定仪的连线，把周期测定仪的周期选择开关拨在10个周期的位置上，然后接通电源。 (2)将惯性秤的秤台沿水平方向稍稍拉开一小距离（约1cm左右），任其振动，测定空秤时m?m0时的周期T0，然后依次加上砝码mi，测定m?m0?mi所对应的周期Ti，一直到将10个砝码加完为止，将所测数据记入表一中。注意加砝码时应对称地加入，并且砝码应插到盒底，使得砝码的重心一直位于秤台中心（重复测三次）。

2、待测圆柱体惯性质量的测定

取下10个砝码，分别将大圆柱体、小圆柱体放入秤台圆孔中，测定惯性秤周期T大、（重复测三次）T小，记入表二中，并将它们的引力质量也记入表二中。 3、研究重力对惯性秤测量精度的影响

(1)水平放置惯性秤，待测物（大圆柱体）通过长约50cm的细线铅直悬挂在秤台的圆孔中(注意应使圆柱体悬空，又尽量使圆柱体重心与秤台中心重合)，此时圆柱体的重量由吊线承担，当秤台振动时，带动圆柱体一起振动，测定其振

?，将测量数据记入表二中。 动周期T大(2)垂直放置惯性秤，使秤在铅直面内左右振动，依次插入砝码，测定相应质量mi所对应的周期Ti?，将测量数据记入表三中。 【数据处理要求】

1、根据表一数据，绘出惯性秤水平放置的Ti2?mi定标曲线，分别由该直线

4?24?2m0）的斜率（）、截距（求出惯性秤的劲度系数K和空秤的有效质量m0。

kk

2、根据表二数据，用内插法从Ti2?mi定标曲线中查出大、小圆柱体的惯性质量，并与它们的引力质量进行比较，求出它们的相对误差。 3、研究重力对惯性秤测量精度的影响。

?进行比较，说明二者为何不同。 (1)将所测周期T大与T大(2) 根据表三的数据，绘出惯性秤竖直平放置的Ti?2?mi曲线（与Ti2?mi定

标曲线绘在同一坐标上），将Ti?2?mi曲线与Ti2?mi曲线进行比较，说明二者为何不同。

4、研究惯性秤的线性测量范围。

Ti2与mi保持线性关系所对应的质量变化区域称为惯性秤的线性测量范围。

由式(1.3-2)可知，只有在悬臂水平方向的劲度系数保持为常数时才成立。当惯性秤上所加质量太大时，悬臂将发生弯曲，k值也将发生明显变化，Ti2与mi的线性关系自然受到破坏。

按上述分析，根据惯性秤水平放置的Ti2?mi曲线确定所用惯性秤的线性测量范围。

2表一 为惯性秤定标(作Ti?mi曲线)

i mi(g) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ti?s?

表二 待测圆柱体的惯性质量的确定

引力质量 m大= g，m小= g

T大?s? T小?s? 测量次数 1 2 3 （大圆柱体）

（小圆柱体） 表三 竖直放置惯性秤 (作Ti??mi曲线)

2i mi(g) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ti??s? 预习思考题

1、处在失重状态的某一个空间有两个质量完全不同的物体，你能用天平区分他们引力质量的大小吗？若用惯性秤，能区分它们的惯性质量的大小吗？

2、说明惯性秤称衡质量的特点。

3、如何由Ti2?mi图线求出惯性秤的劲度系数K和空秤的有效质量m0？可否用逐差法求出K和m0？

4、在测量惯性秤周期时，为什么特别强调惯性秤秤台要调水平及振动时摆幅不得太大？

讨 论 题

1、能否设想出其它测量惯性质量的方案？

2、由式(1.3-2)可以得到

dT??/k(m0?mi)，我们称之为惯性秤的灵敏度，dmidT/dmi越大，秤的灵敏度越高，分辨微小质量差△mi的能力越强，不难看出，dT/dmi实际上就是Ti2?mi曲线的斜率，试问：为了提高惯性秤的灵敏度，应注

意哪几点?