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10、面面平行：（即两平面无任何公共点）

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

a??,b???? ab?A????

a?,b???

（2）两平面平行的性质：

性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；

?? ???a??ab

???b??

性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；

????????? ???

性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

?A,C???? ??AC?BD

B,D??? ABCD??

性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

???????? ??a?或??a?

a???a???

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

??? ??l??mn?A?m,n????

⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

l?ml?n

a?????ab

b?????l?性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行 ????

??l?

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12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

l????????

l???（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

????

???m?? ??l??l?? ? ?l?m?证明两直线垂直和主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；

③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”） 如图：PO???OA是PA在平面?上的射影?P ??a?PA

又直线a??,且a?OA? 斜 即：线影垂直?线斜垂直，反之也成立。aA 线影Oα

空间角及空间距离的计算

1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，

如图：直线a与b异面，b//b?，直线a与直线b?的夹角为两异

面直线 a与b所成的角，异面直线所成角取值范围是（ 0?，90?]

2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面?的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面

?上射影，?PAO为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角?平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

如图：在二面角?-l-?中，O棱上一点，OA??，OB??， 且OA?l,OB?l,则?AOB为二面角?-l-?的平面角。

?l??，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的

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用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： 确构成二面角两个半平面和棱；②明确二面角的平面角是哪个？

而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 （求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”） 5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O为P在平面?上的射影，

线段OP的长度为点P到平面?的距离求法通常有：定义法和等体积法

等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥V中有：VS?ABC

第三章直线与方程

?VA?SBC?ABC

?VB?SAC?VC?SAB

3.1直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k的倾斜程度。

????????时，k?0； 当??90?时，k不存在。 ??0,90??90,180k?0当时，； 当

y?y1k?2(x1?x2)x2?x1②过两点的直线的斜率公式：

?tan?。斜率反映直线与轴

2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 注意：(1)当1(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.2直线的方程

11直线斜率k，且过点11 ①点斜式：

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是

x=x1。

x?xy?y?k(x?x)?x,y?②斜截式：

y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

y?y1x?x1?y?y1x2?x1（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?

③两点式：2xy??1ab④截矩式：

(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

其中直线l与x轴交于点

⑤一般式：（A，B不全为0） 注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x轴的直线：

Ax?By?C?0y?b（b为常数）； 平行于y轴的直线：x?a（a为常数）；

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（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线0（二）过定点的直线系

Ax?B0y?C0?0（

A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

A0x?B0y?C?0（C为常数）

（ⅰ）斜率为k的直线系：

y?y0?k?x?x0?，直线过定点

?x0,y0?；

l（ⅱ）过两条直线1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为

?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数），其中直线l2不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直 当

l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，

l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

3.3直线的交点坐标与距离公式 1、两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交

?A1x?B1y?C1?0?Ax?B2y?C2?0交点坐标即方程组?2的一组解。

方程组无解

?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合

A(x1,y1)，（Bx2,y2）是平面直角坐标系中的两个点，

2、两点间距离公式：设

则

|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)200到直线1A?B3、点到直线距离公式：一点的距离 4、两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

第四章圆与方程

4.1圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程

P?x,y?l:Ax?By?C?0d?Ax0?By0?C2222????x?a?y?b（1）标准方程

?r2，圆心?a,b?，半径为r；

22x?y?Dx?Ey?F?0

（2）一般方程

当D2?E?4F?22?DE?122??,??r?0时，方程表示圆，此时圆心为?22?，半径为2D?E?4F

22当D?E?4F?0时，表示一个点； 当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

4.2直线、圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

222C?a,b?到l的距离为l:Ax?By?C?0????C:x?a?y?b?r（1）设直线，圆，圆心

2d?Aa?Bb?CA2?B2，则有

d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交