中小学习题试卷教育文档 设，则由对勾函数性质知在上为增函数，故得. 所以，即的取值范围是或.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.

21.已知函数，其中.

（1）设是函数的极值点，讨论函数的单调性； （2）若有两个不同的零点和，且， （i）求参数的取值范围； （ii）求证：

【答案】（1）见解析；（2）（i），（ii）见解析. 【解析】 【分析】

（1）求函数导数，由可得解，进而得单调区间；

（2）（i）分析函数导数可得函数单调性，结合，所以，可得解；

（ii）先证当时，若，得存在，进而证，再证时，，可得，构造函数，利用函数单调性即可证得. 【详解】（1），

若是函数的极值点，则，得，经检验满足题意， 此时，为增函数， 所以当，单调递减； 当，单调递增 （2）（i）， ， 记，则，

知在区间内单调递增. 又∵， ，

∴在区间内存在唯一的零点， 即，于是， . 当时， 单调递减；

中小学习题试卷教育文档 当时， 单调递增.

若有两个不同的零点和，且， 易知，所以，解得. （ii）当时有，令.

由（i）中的单调性知，存在，当. ，所以. 下证当时，. 由， 所以，

由（i）知，当，得.. 所以，令 要证，即证. 令单调递增，且， 所以单调递增，所以.得证.

【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；

（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围. 【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标力程为 （2） 【解析】 【分析】

（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；

中小学习题试卷教育文档 （2）设极坐标方程为，，分别与和的极坐标方程联立，可得和，进而看化简求值. 【详解】解：（1）曲线的方程为，的极坐标方程为， 的方程为，其极坐标力程为.

（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为，， 联立与的极坐标方程，得，即， 联立与的极坐标方程，得，即， 所以 ， 又，所以.

【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.

23.选修4-5：不等式选讲 （1）已知，且，证明； （2）已知，且，证明.

【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）由展开利用基本不等式证明即可； （2）由 ，结合条件即可得解. 【详解】证明：（1）因为 ，

当时等号成立. （2）因为 ， 又因为，所以，，，∴.

当时等号成立，即原不等式成立.

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.

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