中小学习题试卷教育文档 【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列满足，.

（1）求证是等比数列，并求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 分析】

（1）根据条件可得，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可； （2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵，，

∴，故是首项为1，公比为的等比数列， ∴. （2），故 .

【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.

18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）

（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占；

（i）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精

中小学习题试卷教育文档 确到个位）

（ii）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望.（说明表示的概率.参考数据：，） 【答案】（1）；（2）（i）;(ii) . 【解析】 【分析】

（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令计算的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为， 根据题意，，即. 由得，，

所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为分. （ⅱ）因为，，. 所以的分布列为 Y P 所以.

【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：

①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义； ②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概

中小学习题试卷教育文档 率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．

19.如图，矩形所在平面，，、分别是、的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】

（1）通过证明面，可证得面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，设由向量的夹角公式先求解线面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.

【详解】如图，取中点，连接，. （1）证明：∵，，为中点， ∴，，

∴是平行四边形，， 又∵，， ∴面，∴面面. ∵，为中点，面， ∴面，∵面， ∴平面平面.

（2）建立如图所示坐标系，

中小学习题试卷教育文档 ，，，，，，. 由（1）知面， ∴，.

∵直线与平面所成角的正弦值为， ∴由得.

设为面的法向量，则，. 由得，，

∵面，，设二面角为，为锐角， 则， ∴.

【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.

20.动点满足.

（1）求点的轨迹并给出标准方程；

（2）已知，直线：交点的轨迹于，两点，设且，求的取值范围. 【答案】（1）（2）或. 【解析】 【分析】

（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得从而可得解；

（2）由得，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得，设，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为. （2）解：设，，由得……① 由得，

由得代入整理……② 显然②的判别式恒成立， 由根与系数的关系得……③ ……④

由①③得，代入④整理得.