重庆交通大学 国际学院 工程教学部

第二章 逻辑代数基础

本章主要内容：

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逻辑代数的基本概念及逻辑函数的表示方法 逻辑代数的运算法则 逻辑函数的公式化简法 逻辑函数的卡诺图化简法

2.1基本概念

一、逻辑常量与逻辑变量

1． 逻辑常量

用0、1代表两种逻辑状态。 2． 逻辑变量

用字母或字母加数字组成的代表逻辑状态的量，分为原变量与反变量，反变量的表示方法：在其

原变量上加—，原变量与反变量互补，即A?A?1。

二、基本逻辑与复合逻辑

1． “与”逻辑

? 概念：当使某事件成立的所有条件全部满足时，该事件才能成立。反之，任一条件不满足时，

事件均不能成立。 ? 表达式：

? 真值表与运算规则： ? 逻辑符号： 2． “或”逻辑

? 概念：当使某事件成立的所有条件中只要一个条件满足，该事件即成立。反之，只有当所有

条件均不满足时，事件不能成立。 ? 表达式：

? 真值表与运算规则： ? 逻辑符号： 3． “非”逻辑

? 概念：当某事件成立时，与之相反的事件亦成立。 ? 表达式：

? 真值表与运算规则： ? 逻辑符号： 4． “与非”逻辑

? 概念：当所有条件全部满足时，该事件的反事件才能成立。 ? 表达式：

? 真值表与运算规则： ? 逻辑符号： 5． “或非”逻辑

? 概念：当所有条件中只要一个条件满足时，该事件的反事件即成立。

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? 表达式：

? 真值表与运算规则： ? 逻辑符号： 6． “与或非”逻辑

? 表达式：

? 真值表与运算规则： ? 逻辑符号： 7． “异或”逻辑

? 概念：当两条件不同（相异）时，事件成立；当两条件相同时，事件不成立。 ? 表达式：

? 真值表与运算规则： ? 逻辑符号： 8． “同或”逻辑

? 概念：当两条件相同时，事件成立；当两条件不同（相异）时，事件不成立。 ? 表达式：

? 真值表与运算规则： ? 逻辑符号：

四、逻辑关系的表示方法

1. 真值表：用表格的方式、用0和1表示输入与输出之间的取值关系。 2. 逻辑函数：用逻辑表达式表示输入与输出之间的关系。

3. 逻辑图：用逻辑符号及其间的连接关系表示输入与输出间的关系。 4. 卡诺图（后述） 五、逻辑函数的标准表达式

1. 最小项：

? 概念：在n个变量组成的逻辑函数中，若函数由此n个变量以原变量或反变量的形式相与（乘）

构成m，且各变量出现一次，则称m为该函数的最小项。n个变量有2n个最小项。如：由A、B、C三个变量构成函数，其最小项有8个：

? 最小项的表示法：用使某最小项值为1的变量取值组合所对应的二进制数的大小表示。如：

使ABC?1的变量取值组合为011，故用m3表示该最小项。

? 最小项的性质：

? 当构成逻辑函数的各变量任意取值时，有且仅有一个最小项的值为1。如：当A=1，B=1，

C=0时，有且只有ABC?1，其余最小项值为0；

? 具有相邻性的两个最小项之和等于无变化的变量之积（变化的变量被消除）。如

ABC?ABC?AB

? 由n个变量所构成的所有最小项之和为1； ? 任意两个最小项之积为0。如：ABC?ABC?0。

2. 最小项表达式

? 概念：由最小项之和构成的函数表达式称为最小项表达式——标准与或式。 ? 逻辑函数的最小项推导法：

? 在真值表中只找输出为1的组合项；

? 将这些组合项中取值为1的输入变量用原变量表示，取值为0的输入变量用反变量表示，

然后将其相乘；

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? 将以上乘积项相加，即得该逻辑函数的最小项表达式。

3. 最大项：

? 概念：在n个变量组成的逻辑函数中，若函数由此n个变量以原变量或反变量的形式相或（加）

构成M，且各变量出现一次，则称M为该函数的最大项。n个变量有2n个最大项。如：由A、B、C三个变量构成函数，其最小项有8个：

? 最大项的表示法：用使某最大项值为0的变量取值组合所对应的二进制数的大小表示。如：

使A?B?C?0的变量取值组合为100，故用M4表示该最大项。

? 最大项的性质：

? 当构成逻辑函数的各变量任意取值时，有且仅有一个最大项的值为0。如：当A=1，B=1，

C=0时，有且只有A?B?C?0，其余最小项值为1；

? 具有相邻性的两个最小项之积等于无变化的变量之和（变化的变量被消除）。如

(A?B?C)(A?B?C)?B?C；

? 由n个变量所构成的所有最大项之积为0；

? 任意两个最大项之和为1。如：(A?B?C)?(A?B?C)?1

4. 最大项表达式

? 概念：由最大项之积构成的函数表达式称为最大项表达式——标准或与式。 ? 逻辑函数的最大项推导法：

? 在真值表中只找输出为0的组合项；

? 将这些组合项中取值为0的输入变量用原变量表示，取值为1的输入变量用反变量表示，

然后将其相加；

? 将以上乘积项相乘，即得该逻辑函数的最大项表达式。

2.2逻辑代数的运算法则

一、逻辑代数的基本公式

1. 常量与变量的运算公式

A+0=A A+1=1 2. 变量的若干定律

? 交换律：A+B=B+A ? 重叠律：A+A=A

? 还原律：A?A ? 互补律：A?A?1

A·0=0

A·1=A A·B=B·A A·A=A

A·A?0

? 结合律：(A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC)

? 分配律：A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)

证明：(A+B)(A+C)=A·A+A·C+A·B+B·C=A+AC+AB+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC ? 反演律(摩根定律)：

A·B?A?B—与非等于非或； A?B?A·B—或非等于非与 证明：（用真值表）

A

3

B A·B A?B A?B A·B 重庆交通大学 国际学院 工程教学部

0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 二、逻辑代数的基本定理

1. 代入定理

若有逻辑等式：F(A,B,C……)=G(A,B,C……)………………(1)

A=H(A,B,C……)……………………………(2)

则：将(2) 式代入(1)式中后，(1)式仍然成立。 2. 反演定理

将原函数F中的所有·与+对换；0与1对换；单个原变量与反变量对换，所得到的新函数即为原

函数的反函数F（反演式）。

? 替换时须遵守“括号→乘→加”的顺序。

? 变量的替换只能对单变量进行，多变量上的“非”号应作为一个整体保持不变。例：2.4、

2.5

3. 对偶定理

将原函数F中的所有·与+对换；0与1对换，不换变量，所得到的新函数即为原函数的对偶函数Fˊ或F（对偶式）。

? 替换时须遵守“括号→乘→加”的顺序。

? 多变量上的“非”号应作为一个整体保持不变。例：2.6、2.7

三、逻辑代数的常用公式

1. 公式1：AB?AB?A，对偶：(A?B)(A?B)?A

意义：两个乘积项相加，若有一个公因子，且其余的因子互补，则互补部分多余。 推广：ABC?ABC?A

2. 公式2：A+AB=A，对偶：A(A+B)=A

意义：两个乘积项相加，若一个乘积项的部分因子是另一个乘积项的全部，则该乘积项是多余的。 推广：AB+ABC=AB 3. 公式3：A?AB?A?B，对偶：A(A?B)?AB

证明：依分配律第二式A+BC=(A+B)(A+C)可得：A?AB?(A?A)(A?B)?A?B

意义：两个乘积项相加，若一个乘积项的部分因子与另一个乘积项互补，则该乘积项中的互补项是多余的。

推广：AB?ABC?AB?C

4. 公式4：AB?AC?BC?AB?AC，对偶：(A?B)(A?C)(B?C)?(A?B)(A?C)

证明：AB?AC?BC?AB?AC?BC(A?A)?AB?AC?ABC?ABC?AB(1?C)?AC(1?B)?AB?AC意义：多个乘积项相加，若两个乘积项的部分因子互补，而此两个乘积项中的其余因子分别为其它乘积项的因子，则其它乘积项是多余的。

推广：ABC?ABD?CD?ABC?ABD

四、异或运算公式

1. 交换律：A⊕B=B⊕A

4

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