2020-2021高中三年级数学下期末模拟试卷(及答案)(19) 下载本文

?x??cos?(I)将?代入曲线C极坐标方程,化简后可求得对应的直角坐标方程.(II)

y??sin??将直线的参数方程代入曲线方程,利用弦长公式列方程,解方程求得直线的倾斜角或斜率,由此求得直线l的普通方程. 【详解】

?x??cos?解:(Ⅰ)将?代入曲线C极坐标方程得:

y??sin??曲线C的直角坐标方程为:x?y?4?4x?2y 即?x?2???y?1??9

(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线方程:

2222?tcos??2???tsin??1?22?9

整理得t2?4tcos??2tsin??4?0 设点A,B对应的参数为t1,t2, 解得t1?t2?4cos??2sin?,t1?t2??4 则AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2??4cos??2sin??2?16?25 3cos2??4sin?cos??0,因为0????

得???2或tan??33,直线l的普通方程为y?x和x=0 44【点睛】

本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化,考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题,属于中档题.

x2y222?y0?13. 22.(1)??1;(2)x094【解析】 【分析】 【详解】

试题分析:(1)利用题中条件求出c的值,然后根据离心率求出a的值,最后根据a、

b、c三者的关系求出b的值,从而确定椭圆C的标准方程;(2)分两种情况进行计算:

第一种是在从点P所引的两条切线的斜率都存在的前提下,设两条切线的斜率分别为k1、

k2,并由两条切线的垂直关系得到k1k2??1,并设从点P?x0,y0?所引的直线方程为

y?k?x?x0??y0,将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程,利用

??0得到有关k的一元二次方程,最后利用k1k2??1以及韦达定理得到点P的轨迹方

程;第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P的坐标,并验证点P是否在第一种情况下所得到的轨迹上,从而得到点P的轨迹方程.

(1)由题意知

55??a?3,且有a3,即32?b2?5,解得b?2,

x2y2因此椭圆C的标准方程为??1;

94(2)①设从点P所引的直线的方程为y?y0?k?x?x0?,即y?kx??y0?kx0?, 当从点P所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时,分别设为k1、k2,则k1k2??1, 将直线y?kx??y0?kx0?的方程代入椭圆C的方程并化简得

?9k2?4?x2?18k?y0?kx0?x?9?y0?kx0??36?0,

2?化简得?y?kx??9k?4?0,即?x?9?k?2kxy??y?4??0,

则k、k是关于k的一元二次方程?x?9?k?2kxy??y?4??0的两根,则

222??????18ky?kx?4?9k?49y?kx?00???00??36?0, ????220020200201220200202y0?4k1k2?2??1,

x0?922化简得x0?y0?13;

②当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直,则P的坐标为??3,?2?,此时点P也在圆

x2?y2?13上.

综上所述,点P的轨迹方程为x?y?13.

考点:本题以椭圆为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程,将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化,计算量较大,从中也涉及了方程思想的灵活应用.

23.(1)f?x??x?2x?4x?5;(2)13。

3222【解析】 【分析】

(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数,利用导数几何意义结合切线方程及函数f(x)在x=-2时有极值即可列出关于a,b,c的方程,求得a,b,c的值,从而得到f (x)的表达式.

(2)先求函数的导数f′(x),通过f′(x)>0,及f′(x)<0,得出函数的单调性,进一步得出函数的最值即可. 【详解】

(1)依题意,f??x??3x?2ax?b,且f?1??4,f??1??3,f???2??0,

2?1?a?b?c?4?∴?3?2a?b?3,解得a?2,b??4,c?5. ?12?4a?b?0?∴f?x??x?2x?4x?5.

32(2)由(1)知f??x??3x?4x?4,

2令f??x??0,得x?∴当x??2或x?2或x??2. 322时,f?x?为增函数;当?2?x?时,f?x?为减函数. 33∴f?x?在x??2时取极大值,f??2??13. 又∵f?1??4,

∴函数f?x?在区间?3,1上的最大值为13. 【点睛】

本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识,考查计算能力,属于中档题. 24.(Ⅰ)

为圆心是(

,半径是1的圆.

为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长

半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (Ⅱ)【解析】 【分析】 【详解】 (1)为圆心是

,半径是1的圆,

??

为中心是坐标原点,焦点在轴,长半轴长是8,

短半轴长是3的椭圆. (2)当

时,

,到

,故的距离

.

的普通方程为所以当

时,取得最小值

考点:圆的参数方程;点到直线的距离公式;直线的参数方程. 25.(I)丙级;(Ⅱ)①【解析】 【分析】

(I)以频率值作为概率计算出相应概率,再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性

;②

.

能等级。

(Ⅱ)先根据题意将次品件数求出。①根据题意知,这种抽取实验是服从二项分布的,根据二项分布的期望公式可求出值的概率,进而求出【详解】 (I)

由图表知,

,,

所以该设备的级别为丙级.

(Ⅱ)①从设备的生产流水线上任取一件,取到次品的概率是依题意,~

,故

.

。②根据古典概型求概率的公式,可以求出的每种取

②从100件样品中任取2件,次品数的可能取值为0,1,2,

故【点睛】

对于(Ⅱ)问题①是二项分布(次独立重复试验中,事件A发生的次数期望为

)利用公式得出

,其

.

26.(1)证明见解析;(2)【解析】 【分析】

1. 12(1)连接PF,BD由三线合一可得AD⊥BF,AD⊥PF,故而AD⊥平面PBF,于是AD⊥PB; (2)先证明PF⊥平面ABCD,再作PF的平行线,根据相似找到G,再利用等积转化求体积. 【详解】 连接PF,BD,