专题09 牛顿运动定律的应用之动力学中的临界和极值问题
重难讲练
临界与极值问题是中学物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达到极值.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变. 1. 临界或极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，即表明题述的过程存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往对应临界状态。
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。 2. 常见的三类临界问题的临界条件：
(1)相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零． (2)绳子松弛的临界条件是：绳的拉力为零．
(3)存在静摩擦的系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值． 3. 临界问题的常用解法
(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的。 (2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。
(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件。
【典例1】如图所示，质量m＝2 kg的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面。取g＝10 m/s。下列说法正确的是( )
2
A.当斜面以5 m/s的加速度向右加速运动时，绳子拉力为20 N B.当斜面以5 m/s的加速度向右加速运动时，绳子拉力为30 N C.当斜面以20 m/s的加速度向右加速运动时，绳子拉力为40 N
222
D.当斜面以20 m/s的加速度向右加速运动时，绳子拉力为60 N 【答案】 A
【解析】 小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零。斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为F，斜面的加速度为a0。以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有Fcos θ＝ma0，Fsin θ－mg＝0
代入数据解得a0＝13.3 m/s。
2
2
甲
代入数据解得F1＝20 N。选项A正确，B错误。
乙
(2)由于a2＝20 m/s>a0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示。设绳子与水平方向的夹角为α。以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有
2
F2cos α＝ma2，F2sin α－mg＝0
代入数据解得F2＝205 N。选项C、D错误。
【典例2】如图所示，质量为m的球置于斜面上，被一个竖直挡板挡住。现用一个力F拉斜面，使斜面在水平面上做加速度为a的匀加速直线运动，忽略一切摩擦，以下说法正确的是( )
A.若加速度足够小，竖直挡板对球的弹力可能为零
2
B.若加速度足够大，斜面对球的弹力可能为零 C.斜面和挡板对球的弹力的合力等于ma D.斜面对球的弹力不仅有，而且是一个定值 【答案】 D
不可能为零，选项A错误；斜面和挡板对球的弹力的合力即为竖直方向的分力FN2cos α与水平方向的合力
ma的合成，因此大于ma，选项C错误。
【典例3】如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以V0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。已知斜面倾角θ=30，物块与斜面之间的动摩擦因数??o
32
。重力加速度g取10 m/s. 3
（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？ 【答案】（1）3m/s 8m/s (2)
2
133N 5【解析】（1）设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得
12L=v0t+atv=v0t+at2 ○1 ○2
2 联立○1○2得a=3m/s ○3 v=8m/s ○4
（2）设物块所受支持力为
FN，所受摩擦力为
Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，
3
由牛顿第二定律得
Fcosα-mgsinθ-Ff=ma ○5
Fsinα+FN-mgcosθ=0 又
○6
Ff=μFN ○7
联立○5○6○7式得
F=mg(sinθ+μcosθ)+macosα+μsinα 8
○
由数学知识得
cosα+323sinα=sin(60°+α)33 ○9
由○8○9式可知对应F最小的夹角为 α=30° 10 ○
联立○3○810式，代入数据得F的最小值为○【跟踪训练】
Fmin=133N5 ○11
1. 如图所示，在粗糙的水平路面上，一小车以v0＝4 m/s的速度向右匀速行驶，与此同时，在小车后方相距s0＝40 m处有一物体在水平向右的推力F＝20 N作用下，从静止开始做匀加速直线运动，当物体运动了
x1＝25 m撤去。已知物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.2，物体的质量m＝5 kg，重力加速度g＝10 m/s2。
求
(1)推力F作用下，物体运动的加速度a1大小； (2)物体运动过程中与小车之间的最大距离； (3)物体刚停止运动时与小车的距离d。 【答案】 (1)2 m/s (2)44 m (3)30 m
4
2