（一）极坐标概念

确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。 1.1极坐标系定义

在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。 1.2平面内的点与极坐标系的关系

平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。

(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应； (2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；

②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为

线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为

的反向延长线；规

定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。

∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。

例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（ ） A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线

（ρ∈R）对称

分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线

（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是

，那么C的坐标可能是（ ）

A. C.

B.

D.（3，π）

，

分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又

，或

，C对应极角为 故选B 。

.

|AB|=4，△ABC为等边△， ∴

例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则 |AB|=______________________________。 分析：用余弦定理可得公式。

此结论可作为

1.3极坐标与直角坐标的互化

取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)

则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)

此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。 例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。 (1)

(2)

(3) 解：(1)

(4)ρ2=2cos2θ 得y=-x；

(2)ρsinθ=2cosθ+2,ρsinθ=2ρcosθ+2ρ,

,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；

(3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36； (4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2 例2.椭圆的方程为（ ） A.

B.

C.

在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中

222

D.

分析：,得 故选C 。

（二）极坐标方程的确定

2.1几种直线的极坐标方程

(1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ1（ρ＞0）；

(2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R）； (3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ=a；

(4)如图4 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ= -a；

如图1

如图4

如图2

如图3

(5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=a；

(6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；

(7)如图7 过点M（a,θ1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：ρcos(θ-θ1)=a.

如图5 如图6

如图7

例1.过点 A.

且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ） B.ρ=1 C.

D.

分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。

例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（上海 94年高考题）

A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ= -1 D.ρcosθ=1

分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C。

例3.已知直线ι的极坐标方程为ι

1

1

的参数方程为：（t为参数），直线ι

2

（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则

与ι

2

的夹角是（ ）

B.

C.

D.

A.