O(H2/S3)?P(H2/S3)0.006??0.006
1?P(H2/S3)1?0.006（6）计算O(H2/S1,S2,S3) 由合成公式：
O(H2/S1,S2,S3)?O(H2/S1,S2)O(H2/S3)??O(H2)
O(H2)O(H2)=0.081
所以，H2原先的几率是0.01，通过运用r1，r2，r3，r4四条知识以及可信度C(E/S1)，C(E/S2)给出的初始证据进行推理，最后算出H2的后验几率是0.081，相当于向率增加了8倍多。
四、证据理论
? 证据理论又称为D-S理论；是由A. P. Dempster首先提出，并由G. Shafer进一步发展起来
的一种处理不确定性的理论。
? 该理论满足比概率论弱的公理，能够区分“不确定”与“不知道”的差异，并能处理“不知道”引起的不确定性，具有较大的灵活性。
(一)D-S理论的数学基础
(1)在可信度方法和主观Bayes方法中，知识是用产生式的形式表示的。
? 在可信度方法中，证据、结论以及知识的不确定性是以“可信度”进行度量的。
? 在主观Bayes方法中，证据及结论的不确定性以概率的形式进行度量，而知识的不确定性是以数值对(LS,LN)来进行度量。
? 在用产生式表示知识时，证据可以是单个命题，也可以是用AND和OR连接起来的复合命题。 (2)在D-S系统中，知识也是以产生式的形式表示。但证据和结论以集合进行表示。 例如，假设D是所有可能疾病的集合，医生为进行诊断而进行的各种检查就是获得所需证据的过程，检查得到的结果就是获得的证据，这些证据就构成了证据集合E。根据证据集合E中的这些证据，就可以判断病人的疾病。通常，有的证据所支持的不只是一种疾病，而是多种疾病，这些疾病当然都是集合D中的元素，可以构成D的一个子集H，H就是结论集合。
(3)在D-S理论中，知识的不确定性通过一个集合形式的“可信度因子”来表示。证据和结论的不确定性度量则采用信任函数和似然函数来表示。
(4) 证据理论是用集合来表示命题的。设D是变量y的样本空间，其中具有n个元素，变量y的所有取值都在D中，D中元素所构成的子集个数为2n个，在任何时刻变量y的取值都会落入某个子集。也就是说，每一个子集A都对应着一个关于y的命题“y的值在A中”。所以，就用集合A来表示该命题。
1、概率分配函数 nDn
设D为样本空间，其中具有n个元素，则D中子集的个数为2个，并以2表示这2个集合。概率
D
分配函数的作用是把D上的任意一个子集A(∈2)都映射为[0,1]上的一个数M(A)。当A对应一个命题时，M(A)即是对应命题不确定性的度量。 定义： 设D 为样本空间，领域内的命题都用D的子集表示，如果定义函数M(x)为集合2D到区间[0,1]
上的一个映射函数，其满足下列条件：
M(?)?0?M(A)?1
A?D 21
则称M(x)为2D上的概率分配函数。M(A)称为命题A的基本概率数。
? A是D的一个子集，称作命题，M(A)是对其不确定性的一种表示。
? 概率分配函数不是概率。样本空间D上的各元素的基本概率数之和不一定等于1。
例如，设D={red, green, blue}，则2D空间由D的8个子集构成，这8个子集是 A0=Φ，A1={red}，A2={green}，A3={blue}
A4={red, green}，A5={red, blue}，A6={ green, blue}， A7={ red, green, blue}
假设定义一个概率分配函数M(x)，对各子集的概率分配如下： M(A0)=0，M(A1)=0.2， M(A2)＝0.1，M(A3)＝0.1， M(A4)=0.2，M(A5)=0.1，M(A6)=0.2，M(A7)=0.1
显然，M(x)符合概率分配函数的定义，但就D中的三个元素A1={red}，A2={green}，A3={blue}， M({red})+M({green})+M({blue})=0.4 而若按概率的要求，这三者的和应是1。
2、信任函数 信任函数是用来对命题A的不确定性进行度量的。
定义： 设D为样本空间，2D为D的所有子集表示的命题之集合，A是2D中的一个命题。如果定义函数Bel(x)为将集合2D映射到区间[0,1]上的一个函数，即0?Bel(A)?1，并且满足下列条件： Be(lA)??M(B) 对所有的A?2D
B?A则称Bel(x)为信任函数，或称下限函数。
? Bel(A)表示命题A为真的信任程度。从定义的公式可以看出，命题A的信任函数值，是A的所有
子集的基本概率分配函数值的和。
? 由信任函数及概率分配函数的定义，容易推出：
Bel(?)?M(?)?0
Bel(D)? 上面的例子： B?D?M(B)?1
Bel(A1)?M({red})?0.2
Bel(A5)?M({red})?M({blue})?M({red,blue})
=0.2+0.1+0.1
=0.4
Bel(A7)?M({red})?M({green})?M({blue})?M({red,green})
?M({red,blue})?M({green,blue})?M({red,green,blue})
=0.2+0.1+0.1+0.2+0.1+0.2+0.1
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=1
3、似然函数
似然函数也是一个从集合2D到区间[0,1]上的映射函数，称为上限函数。 定义： 设有函数Pl(x)是从集合2D到区间[0,1]的映射函数，且
Pl(A)?1?Bel(～A)=
B?A???M(B)
则称Pl(x)为似然函数。
? 因为Bel(A)表示命题A为真的信任程度，所以Bel(～A)表示～A为真的程度，即表示A为假的
信任程度。Pl(A)表示对A为非假的信任程度。
? A不为假，并不代表A一定为真，A不为假的信任程度应该大于对A为真的信任程度，即有：
Pl(A)?Bel(A) ? Pl(A)-Bel(A)就是对A即不为假，又不为真的信任程度。或者说表示了既不信任A也不信任～A
的一种度量。这种即不为假，又不为真的情况，即是“不知道”的情况。证据理论能处理这种“不知道”引起不确定性。
对于上面的例子： Pl(A1)=1-Bel(～A1)
=1-Bel({green, blue})
=1-[M({green})+M({blue})+M({green, blue})] =1-[0.1+0.1+0.2] =0.6
Pl(A5)=1-Bel(～A5)
=1-Bel(～{red, blue}) =1-Bel({green}) =1-0.1 =0.9
对于命题A，用区间(Bel(A),Pl(A))来描述A的不确定性，并分别把Bel(A)和Pl(A)作为度量其信任程度的下限和上限。
4、概率分配函数的正交和
? 命题的不确定性需要用信任函数和似然函数来度量；而信任函数和似然函数的定义依赖于概率分
配函数；所以概率分配函数是对一个命题的不确定性度量的基础。
? 在有的情况下，由于数据的来源不同，可能得到两个不同的概率分配函数。为了计算信任函数和
似然函数，就必须将两个概率分配函数合并成一个概率分配函数。（A. P. Dempster提出了一种组合方法，即对两个概率分配函数进行正交和运算）。
定义：设M1和M2是两个概率分配函数，则它们的正交和M?M1?M2为：
M(?)?0M(A)?K?1?K?1?X?y?? ?M(x)?M(y)?M(x)?M(y)??M(x)?M(y)12x?y?A1212x?y??
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若K?0，则正交和M也是一个概率函数；如果K?0，则不存在正交M，称M1 和M2矛盾。
对于多个概率分配函数M1，M2，?，Mn，如果它们可以组合，也可以通过正交和运算将它们组合成一个概率分配函数。
定义：设M1，M2，?，Mn是n个概率分配函数，则其正交和M?M1?M2???Mn为
M(?)?0M(A)?K?1?K??Ai?A1?i?n??M(A)
iiii?Ai??1?i?n??M(A)
例：对样本空间D={c, d}，可能得到两个不同的概率分配函数如下： 第一个概率分配函数M1
M1(Φ)=0, M1({c})=0.2, M1({d})=0.5, M1({c, d})=0.3 第二个概率分配函数M2
M2(Φ)=0, M2({c})=0.3, M2({d})=0.6, M2({c, d})=0.1 求两个概率分配函数的正交和：
K?1?X?y???M(x)?M12(y)
＝1－[M1({c})×M2({d})+ M1({d})×M2({c})] =1-[0.2×0.6+0.5×0.3] =0.73
M({c})?K?1?=
x?y?{c}?M(x)?M12(y)
1×[M1({c})×M2({c})+ M1({c})×M2({c, d})+ M1({c, d})×M2({c})] 0.731=×[0.2×0.3+0.2×0.1+0.3×0.3] 0.73=0.232 同理：
M({d})=0.726 M({c, d})=0.041
由此得到组合后的概率分配函数为
M(Φ, {c}, {d}, {c, d})=(0, 0.232, 0.726, 0.041)
(二)特定概率分配函数
? 在证据理论中，信任函数Bel(A)和似然函数Pl(A)分别表示对命题A信任程度的下限和上限，因
而可以用区间(Bel(A),Pl(A))作为证据A的不确定性度量以及知识不确定性度量，并以此为基础建立起相应的不确定性推理模型。
? 信任函数和似然函数是以概率分配函数为基础的。在一个样本空间D上，各子集的概率分配数并
不是概率，其值可能是人为指定的，所以不同的概率分配函数，就会导致不同的信任函数和似然函数，因而也会产生不同的推理模型，即推理模型是建立在概率分配函数的基础之上的。因此，所选取的概率分配函数的复杂性，就直接影响推理模型的复杂性，进而影响着不确定性计算复杂
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