Lebesgue积分与Riemann积分的区别与联系
摘 要：积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非
常重要的积分，它们之间既有区别又有联系，在此，主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义及性质定理的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系.
关键词：黎曼积分;勒贝格积分;连续性；可加性；极限交换。 正 文：积分是整个分析数学中最基本的概念，现有的积分有两种形式：一种是
作为近代数学核心的Riemann积分，一种是作为现代实变函数论核心的Lebesgue积分，这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别.下面从两种积分的定义及其性质定理等方面进行比较。
1.Riemann积分的缺陷
（1）Riemann积分的研究对象是“基本上”连续的函数
若令T=max{??i,i=1,2…,n},则?（x）在[a,b]上Riemann可积的充要条件是：
n limx???(Mi?1i?mi)???0(其中Mi?mi是??i中的上确界与下确界的差)
函数的可积性是与上式等价的，又上式受到两个因素的影响：1. ??i的大小，2Mi?mi的大小，所以要想同时满足两者比较难，所以只能是“基本上”连续的函数。
（2）R积分与极限可交换的条件太严.
我们知道一列黎曼可积函数（即使有界）不一定保持R可积性.因此在积分与极限交换问题上，R积分的局限性就特别突出，大家知道，为了使
?balimfn(x)dx?limnn?bafn(x)dx
对一列收敛的R可积函数?fn? 能成立，当然要求limfn(x)是R可积的.对?fn? 加上一
n致收敛的条件可以保证极限函数R可积，同时也保证了上面等式的成立，可是这一充分条件不但非常苛刻而且检验起来也不方便.由于积分与极限交换问题不能顺利解决，就大大降低了R积分的效果.
（3）微积分基本定理的应用受到限制
我们知道任一R可积函数f(x) 的上限积分F(x)?'?xaf(t)dt在f(x)的所有连续点都
有F(x)?f(x)，换言之，就是积分后再微分可以还原。但是另一方面一个可微函数F(x)的导函数f(x)即使有界也不一定Riemann可积（Volterra的例），因此也就说不上有N?L.公式
F(x)?F(a)??xaf(t)dt
所以在R积分的范围内，积分运算只是部分地成为微分运算之逆.
2．积分的定义
（1）Riemann积分的定义
设f(x)是定义在?a,b?上的有界函数，任取一分点组T
a?x0?x1?x2???xn?b
将区间?a,b?分成n部分，在每个小区间??xi?1,xi??上任取一点ζi,i?1,2,3,?.作和
nS??i?1f(ζi)(xi?xi?1)
令r?max(xi?xi?1)，如果对任意的分发与ζi的任意取法，当r?0时，S趋于有限
1?i?n的极限，则称它为f(x)在?a,b?上的黎曼积分，记为
I?R?f(x)dx
ab（2）Lebesgue积分的定义
由本学期教材知Lebesgue积分的定义是由三个步骤给出的，但前两个定义都被包含在第三个定义之中，所以此处只给出第三个定义：
设?(x)是E上的可测函数，若非负可测函数f(x),f(x)在E上积分不同时为??，就称
f(x)在上有积分并定义在E上的积分为：
??
?Ef(x)dx??Ef(x)???Ef(x)dx
???（它是有限数或??）.当上述积分为有限数时（即当f(x),f(x)均在E上可积时），就称
f(x)在E上可积。
从以上可以看出，它们的区别是：黎曼积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而由本学期教材中的三步定义知勒贝格积分是划分函数的值域而产生的.对定义域与对值域的分割是Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别，对值域进行分割求积分的方法使E中的点分成几大类形成点集，.另外，Lebesgue积分理论是在测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于?a,b?上.所以，这两种积分产生了本质的区别,使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质.
3.区别于联系
（1）可积函数的连续性
闭区间【a，b】连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数，比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的。那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件。它将函数的
可积性归结到了函数的内在性质—连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚。这个可积条件是：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的。
定理 为使【a，b】上的有界函数f是R可积，充分必要条件是f在【a，b】上几乎处处连续。此外当f为R可积时，f必L可积，而且两个积分值相等。
例如黎曼函数
?1/q,当x?p/q(q?0,q,p为互质的整数）f(x)???0，当x为无理数
这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.（因为该函数在区间(0,1)内的极限处处为0）。虽然在有无穷多个，但这个函数在
?0,1?中有无穷多个有理点，即黎曼函数在?0,1?上的不连续点
?0,1?上仍是黎曼可积的，且有
?事实上，
10f(x)dx?0
?0,1?中的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数f(x)是黎曼可积的.
现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质。
（积分的绝对连续性）设f?L(D)，则对任何?>0，存在?>0，使得对D上的任何可测子集A,只要m(A)< ?,就有
|
?Afdx|< ?.
（2）积分的可加性
这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性.黎曼积分具有有限可加性，即若
nE??Ei?1i，E,Ei(i?1,2,...,n)均为有限区间，Ei?Ej??（i?j）则有
n?Ef(x)dx???1Eif(x)dx
但是黎曼积分不具有可列可加性，而对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可列可加性，克服了黎曼积分的缺陷，我们有下面的定理：
?定理1 若E??Eii，Ei?Ej??（i?j），E，Ei（i=1,2，.....）均为可测集，且
m(E)??，f(x)是E上的勒贝格有界可积函数，则有
??Ef(x)dx???1Eif(x)dx
（3）积分与极限交换
关于黎曼积分积分与极限互换的问题，由于积分与极限交换的问题不能顺利解决，就大大降低了黎曼积分的效果与应用范围.在勒贝格积分范围类对于这个问题得到比在黎曼积分范围类完满的解决，这正是勒贝格积分的最大成功之处.对于勒贝格积分，有如下定理： （勒贝格控制收敛定理）：设m(E)??， （1）?fn(x)?是可测集E上的可测函数列； （2）存在E上非负可积函数F（x）,使
fn(x)?F(x)（n=1,2，...）
（3）在E上
fn(x)依测度收敛于?（x）
则f(x)在E上可积，且
limn?Efn(x)dx??Elimf(x)dx
n证 明：（1）证明定理1可参看本学期《实变函数与泛函分析》教材P170定理3（ⅲ）
的证明。
（2）勒贝格控制收敛定理证明：有条件（2）知诸积。对E的任何可测子集e有 |∫
fn(x)|可积，所以诸
fn(x)可
dx|≦∫
fn(x)|dx≦∫F(x)dx
由F（x）的积分具有绝对连续性知，n=1,2?积分具有等度的绝对连续性，由Vitali
定理知此定理成立。（Vita定理参看本学期《实变函数与泛函分析》教材P187）
参考文献：
[1]郭大军等.实变函数与泛函分析.山东大学出版社，2005. [2]刘玉莲等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992.
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