新 概 念 力 学 习 题 集 第 21 页

2 Ep????2klRcos??1?cos???sin??c

??? ∴在?1?0附近，势能曲线上凹，这时，?1?0也为一稳定平衡点。

·当mg?kR?kl2?0,即mg?kR?kl2时,Ep?0??0，?1?0为不稳定平衡点。

?kl?,Ep?????4R?kR?mg?sin2??

2?kR?mg?? ·当kR?mg?0时Ep?????0，因要求cos???1?mg?kR?kl2，此时??为

② 对于???cos?1两个稳定平衡点。

mg?kR?kl2时,co?s??1????0，不属此解。 mg?kR?kl2?co?s??1，不合理，应舍去。

·当kR?mg?0时,Ep?????0,但cos????，不合理，舍去。

·当kR?mg?0时,Ep?????0,但cos??为负值，?????2，不合理，舍去。 总结之：

（a）当mg?kR?kl2时，Ep有两个稳定平衡点????，有一个不稳定平衡点??1?0?。 （b）当mg?kR?kl2时，Ep只有一个稳定平衡点??1?0?。 相应的势能曲线见下图(a)、(b)。

??第四章

4-1 如本题图，一质量为m的质点自由降落，在某时刻具有速度v．此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d1、d2、d3。求：(1)质点对三个点的角动量；(2)作用在质点上的重力对三个点的力矩。

???JA?md1?v,JA?mvd1,方向向纸里。????解：（1）J?md?v ,J?mvdsin(??)?md2vcos??mvd1方向向里，B2B22???JC?md3?v?0.??????（2）MA?d1?mg,MA?mgd1，方向向里；MB?d2?mg，

???MB?md2gsin(??)?md2gcos??mgd1；MC?d3?mg?0

2?

4-2 一质量为m的粒子位于(x，y)处，速度为v=vx i+ vy j，并受到一个沿-x方向的力f．求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。

???解： J?mr?v?mxy0vxvy0???ijk?????m(xvy?yvx)k M?r?f?xy0?f00???ijk??yfk

4-3 电子的质量为9.1×10-31kg，在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知电子的角动量为h/2?，(h为普朗克常量，等于6.63×10-34J?s)，求其角速度。

???h解：J?mr?v, J?mvr, v?r?, J?

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1h6.63?10?3416????4.13?10md/s 2?312?22mr2?9.1?10?5.3?10?2?

4-4 如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。设摆长为l1时摆锤的线速度为v1，将摆长拉到l2时，摆锤的速度v2为多少？圆锥的顶角有什么变化？

??解：质点的合力F沿?r方向，为有心力（即向心力），故质点对支柱的角动量守恒（不是

??对顶点守恒），即J1?J2?mr1v1即：r1v1?r2v2?恒量

r?v2?1v1,由于r1?r2,故v2?r1，又r1?l1sin?1,r2?l2sin?2,?r2?T2cos?2?mg23l1sin?1vv13?222v2?v1,从??tg????v2 v22l2sin?2gr2gr1v1恒量?T2sin?2?mr2?3?tg?2~v2?v2增大，故以?2亦增大，即?2??1

4-5 如本题图，在一半径为R、质量为m的水平转台上有一质量是它一半的玩具汽车。起初小汽车在转台边缘，转台以角速度?绕中心轴旋转。汽车相对转台沿径向向里开，当它走到R/2处时，转台的角速度变为多少，动能改变多少？能量从哪里来？

4-6 在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v时，转台怎样转动？

m1汽车对地速度为V车?v?V合?v?R?，J车?RV车?mR(v?R?)22解：J?I??1mR2?,角动量（对圆心）守恒：J?J?0

台车台2v???(这是转台反方向旋转地角速度)2R

4-7 两质点的质量分别为m1、m2(m1> m2)，拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度?在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量大？角动量之比为多少？ 解：l1?m2m2l, l2?l

m1?m2m1?m222211m2m1m2m1222Jc1?m1l1v1?ml??l? J?mlv?ml??l? c22222222(m1?m2)(m1?m2)Jm?m1?m2,Jc2?Jc1,即m2对质心的角动量更大 c2?1

Jc1m2

4-8 在上题中，若起初按住m2不动，让m1绕着它以角速度?旋转。然后突然将m2放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角动量和绳中的张力。设绳长为l。 解：放开m2后，质心的合力为零，故其以匀速vc??l2?线运动 Jc?Jc1?Jc2?m1l?沿切线方向做匀速直

m1?m2m1?m22l??

m1?m2m1m22m12l2??2J?Jc?mrc?vc?m1lv0?m1l??l???(m1?m2)?????? 2m1?m2(m1?m2)新 概 念 力 学 习 题 集 第 23 页

?系统绕质心的总角动量为Jc?m1m22l???l2?.?为折合质量m1?m2

v12m1m2T1?m1?m1l1?2?l?2l1m1?m22v2m?m2T2?m1?m2l2?2?1l?2?T1??l?2(T1?T2)l2m1?m2

4-9 两个滑冰运动员，体重都是60kg，他们以6.5m/s的速率垂直地冲向一根10m长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所示。若将每个运动员看成一个质点，细扦的质量可以忽略不计。(1)求他们抓住细杆前后相对于其中点的角动量；(2)他们每人都用力往自己一边收细杆，当他们之间距离为5.0m时，各自的速率是多少？(3)求此时细杆中的张力；(4)计算每个运动员在减少他们之间举例的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。 解：(1)

J1?J2?mrv0?60?5?6.5?1950kgm2/s2J?J1?J2?2?1950?3900kgm/s?J前?J后（角动量守恒）?(2) 每人用力沿r方向，杆对人给予向心力，故角动量守恒

r5??J1?J2?2mr10v0?J1?J2?2mr5v??v??10v0??6.5?13m/s

r52.5

v?2132?60??4056N (3) T??mr52.5r10rv?22v0 s?r10?r,ds??dr T?m?m103v0 ?2mr10v0?2mrv?v?rrr?每个运动员所做的功为2vr11122A??Tds??m0310(?dr)?mr10v0(2?2)r10r102rr5r10r5r5221r11122?m102v0?mv0?mv?2?mv2??Ek2r5222?1?60?(132?6.52)?3802.5J22

4-10 在光滑的水平桌面上，用一根长为l的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O、起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。(1)求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？(2)当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？

(1)Ek0?1b11122bmv0,v?v0sin??v0 Ek?mv2?mEk0?mv0()2 2l222lEkb21b2?2 ???1 其他能量Ek?Ek0?mv0(1?2)变为绳子的弹性势能，Ekol22l

解：再转化为绳子中分子的内能(2)绳子断后，质点将按速度v?v0b沿切线方向飞出，做匀速直线运动lJ?mrvsin??mvl?mv0b质点对0点的角动量不变。

4-11 图中O为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r2(k为一常量)。(1)求此力

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场的势能；(2)一质量为m的粒子以速度v0、瞄准距离b从远处入射，求它能达到的最近距离和此时刻的速度。 解：(1)U(y)0?U(?)???rfcos?ds??f(r)dr??r??rkk dr?rr2选r??处为U的零点?U(r)?kr(2)因是有心力，故粒子对0点的角动量守恒J0?mrv0sin(??)?mrv0cos??mv0b?mvR (1)2112k2能量守恒给出 mv?mv? (2) 0

22R?v?k2?m2v0b2?kmv0bmv0b2k?mv0b?k224224??mv0bk?k2?m2v0b2k2?m2v0b2?kmv02443R??

4-12 在上题中将排斥力换为吸引力，情况如何？

4-13 如果由于月球的潮汐作用，地球的自转从现在的每24小时一圈变成每48小时一圈，试估计地球与月球之间的距离将增为多少？已知地球的质量为M地?6×1024kg，地球半径为R地=6400km，月球质量为M月?7×1022kg，地月距离为l= 3.8×105km，将月球视为质点。 解：选地心O为参考点，地球的自转角动量为J地?IC?, 月球对0点的角动量为

J月?m月v月l, 因地-月之间的引力为有心力。故地月系统对0点的角动量守恒，（其质心在

??地球内，故可认为地心不动）： J地?J月?J地?J月

?l??Ic??M月v月l?Ic???M月v月??Ic?2M?R?2,l?3..8?108m,G?6.67?10?11m3kg/s2?5? 2则??2M?M月v月M?M月v月?M月,G?M月?G?22?ll?ll??2?2?2?2?????,????T24?3600T?48?3600?22R??l??[l?5MA8M?(????)]2G26.42?10126?10242?12 ?[3.8?10???(1?)] ?1157?102224?360026.67?10 ?4.86?108m?4.86?105km 即地月之间距离增大了0.28倍

4-14 一根质量可忽略的细杆，长度为l，两端各联结一个质量为m的质点，静止地放在光滑的水平桌面上。另一相同质量的质点以速度v0沿45?角与其中一个质点作弹性碰撞，如本题图所示。求碰后杆的角速度。 解：

4-15 质量为M的匀质正方形薄板，边长为L，可自由地绕一铅垂边旋转。一质量为m、速度为v的小球垂直于板面撞在它的对边上。设碰撞是完全弹性的，问碰撞后板和小球将怎样