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v0为极限，vM以2v0为极限。

3-19 一质量为m1、初速为u1的粒子碰到一个静止的、质量为m2的粒子，碰撞是完全弹性的。现观察到碰撞后粒子具有等值反向的速度。求(1)比值m2／m1；(2) 质心的速度；(3)两粒子在质心系中的总动能，用m1u12/2的分数来表示；(4)在实验室参考系中m1的最终动能。

?解：（1）? v?u1/2 ?m2?3m1 222能量守恒:m1u1/2?(m1v?m2v)/2?mivi?mu?01 （2）vc?i?11?u1

mm1?m241m1m231c22u1??m1u1 （3）Ek?2m1?m2421122 （4）Ek1?m1v?m1u1

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3-20 在一项历史性的研究中，詹姆斯．查德威克(James Chadwidk)于1932年通过快中子与氢核、氮核的弹性碰撞得到中子质量之值。他发现，氢核(原来静止)的最大反冲速度为3.3×107m/s，而氮14核的最大反冲速度为4.7×106m/s，误差为士10%．由此你能得知中子质量和所用中子的初速度分别是什么吗？(要计及氮的测量误差。以一个氢核的质量为1原子质量单位，氮14核的质量为14原子质量单位。)

动量守恒:m1?m2v?m1v?mnv0?mnvnH?mHvHmH1解： ??v?(1?)vH 02222mn?mnv0/2?mnvnH/2?mHvH/214mH1 同理：v0?(1?)vN

2mn14vN?vH14?4.7?106?3.3?107mH?mH?10159mH （1）mn?76vH?vN3.3?10?4.7?1011 （2）v0?(1?)?3.3?107?3.07?107m/s

21.159 误差分析： ?lnmn?ln14v?vHvH?vN?mn14?vN?vN?lnmH???mn14vN?vHvH?vN6

而?vN?vN?10%?0.47?10m/s

?mn14?0.47?1060.47?106????21.72% 6776mn14?4.7?10?3.3?103.3?10?4.7?10mH ?mn?mn?21.72%?0.252 又lnv0?ln 即

?vmm11vH?ln(1?H)?0???H??mn 2mnv0mn?mHmn?v01??0.252?10.07%?0.31?107m/s v01.159?17 最后得 ·mn?(10159?0.252)mH ·v0?(3.07?0.31)?10m/s

3-21 在(原理)一书中牛顿提到，在一组碰撞实验中他发现，某种材料的两个物体分离时的相对速度为它们趋近时的5/9．假设一原先不动的物体质量为m0，另一物体质量为2m0，以初

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速v0与前者相撞。求两物体的末速。 解：设v1?v2，则??v1?v2?50?v0/9?5v0/9?2m0v0?2m0v2?m0v1注意：若设v2?v1?5v0/9,则v1?8v0/27,v2?23v0/27?v1，不符合物理事实，故

?v1?2813v0,v2?v0 2727舍去。

3-22 一质量为m0，以速率v0运动的粒子，碰到一质量为2m0静止的粒子。结果，质量为m0的粒子偏转了45?并具有末速v0/2。求质量为2m0的粒子偏转后的速率和方向。动能守恒吗？

解：由动量守恒得：

1?v0??v?v05?22?0.368v0m0v0?m0cos?2m0vcos???4??24?? ?v2????tg?1?m0sin?2mvsin??0?28.68?00??24?4?2?v115?2221122v0?0.52?m0v0?m0v0 末态动能Ek?m00?2m02421622故动能不守恒！

3-23 在一次交通事故中(这是以一个真实的案情为依据的)，一质量为以2000kg、向南行驶的汽车在一交叉路中心撞上一质量为6000kg、向西行驶的卡车。两辆车连接在一起沿着差不多是正西南的方向滑离公路。一目击者断言，卡车进入交叉点时的速库为80km/h．(1)你相信目击者的判断吗？(2)不管你是否相信他，总初始动能的几分之几由于这碰撞而转换成了其它形式的能量？

解：（1）由动量守恒，有P总?(m汽?m卡)v总? 而：P汽?P卡?m汽v汽?m卡v卡

22P卡?2m卡v卡

m卡?6v?v??汽m卡2?80?240km/h?3v卡?汽 ??

m卡63?v?2v?2?80?602km/h?2v卡总卡?m?m2?64汽卡? 一般的小汽车最高时速为120公里，此处v汽?120km/h，故目击者的判断不可信。

111222222 （2）E初k?m汽v汽?m卡v卡??2?240?6?80?t?km/h

2221422222 ?7.68?10t?km/h??2?3?6?v卡?12v卡

21122422 E末k??m汽?m卡?v总???2?6??60?2?2.88?10t?km/h

221922 ??2?6?? ?2v卡?4.5v卡216?EkE初k?E末k7.68?2.88512?4.5???0.625?? ?x? E初kE初k7.68812 即总初始动能的5/8由于碰撞而转换成了其他形式的能量。

3-24 两船在静水中依惯性相向匀速而行，速率皆为6.0m/s．当它们相遇时，将甲船上的货物搬到乙船上。以后，甲船速度不变，乙船沿原方向继续前进，但速率变为4.0m/s，设甲船空载时的质量为500kg，货物的质量为60kg，求乙船质量。在搬运货物的前后，两船和货物

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的总动能有没有变化？

解：由2-6题求得m乙?300kg 记m甲?500kg,m货?60kg时，

v0?6m/s,v乙?4m/s

111222则 Ek初??m甲?m乙?m货?v0 Ek末?m甲v0??m乙?m货?v乙

222由于v0?v乙，故Ek初?Ek末，即搬运货物前后，两船和公斤的总动能有变化（减少了）。

3-25 一质量为m的物体，开始时静止在一无摩擦的水平面上，受到一连串粒子的轰击。每个粒子的质量为?m(<

v1?v2?v3?v4?2?m2?mv0?a?v0,a??m??mm??m2?mv0?(m??m)v1?a??1?b??v0m??m2?mv0??m??m?v2?a?1?b??b?2v0m??m???

2?mv0??m??m?v3?a?1?b??b?2?b?3v0m??m?????vn?2?mv0??m??m?vn?1?a?1?b??b?2?b?3???b?n?1v0?1?b?nv0?1?elnb??nv0m??m??????m??m??2????????ln?1?m??ln?1?m???m?m??m??a

m??mm?m?mmm??2??vn??1?e?na?v0，其中a?m （1）

m?na?1?na,1?e?na?na?vn?nav0?nv1，由于?m??m,a??a， 讨论：?an??1,e b??1，严格结果vn?nav0，故此时近似式（1）有效。

由于lnb??ln?0,vn?v0，但严格结果nav0??，故此时近似式（1）无效。 ?an??,e

3-26 水平地面上停放着一辆小车，车上站着10个质量相同的人，每人都以相同的方式、消耗同样的体力从车后沿水平方向跳出。设车的质量远大于10个人的质量，以及所有人所消耗的体力全部转化为车与人的动能，在整个过程中可略去一切阻力。为了使小车得到最大的动能，车上的人应一个一个地往后跳，还是10个人一起跳？

解：设每人贡献的能量为E，小车的质量为M，把N个人看成一个质点组，则其动能为：

N12cM Ek人?Nmvc人?Ek人(konig定理) 其中：vc人??mvi2i?11122 又： NE?MV车?Ek人,Ek车?MV车

22?na?m??mviiiNm

MV车??mvi?1Ni?0，v车为几个人全部跳离车子后的速度。

解上述诸式，便得车子动能Ek车为： Ek车?Nm?NE?EkcM人?

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当几个人一起跳车时，各vi一样，且vi?vc,vicM?0，故EkcM人?0，此时

?E?k车一起N2mE ?M?Nm当几个人一个一个跳车时，各vi不一样，且vc??vNi?vi,i为某个人的序号，

vicM?vi?vc?0，故 ?Ek车?一个一个??Ek车?一起

∴10个人一起跳时，车子获得最大的动能。

3-27 求圆心角为2?的一段均匀圆弧的质心。

m,x?Rcos? 2?R111?mRsin? xc??xdm??x?dl??Rcos?? Rd????mmm2?R? 特例：?????xc?0,圆周质心在圆心上.

?2R????xc?(半圆弧的质心) 2????0?xc?R,一个点的质心在质点上.解：显然yc?0,??

3-28 求均匀半球体的质心。 解：显然xc?0,zc?0，?? ycm,y?Rcos?,dy??Rsin?d? 22?R/3ydm???m1R30323????y?Rsin??dy?R?sin?co?sd??R ?m?02?28

3-29 如本题图，半径为R的大圆环固定地挂于顶点A，质量为m的小环套于其上，通过一劲度系数为k、自然长度为l(l<2R)的弹簧系于A点。分析在不同的参数下这装置平衡点的稳定性，并作出相应的势能曲线。

解：总势能Ep?Ep重?Ep弹，选右图中的?角为变量，则

11222k?2Rco?s?l??2mgRsin??k?2Rco?s?l??0 22dEpdv1dEp?0的点即为切向力F??m???0的点): 找平衡点(d?dt2Rd?dEpdEp?2Rsin??kl?2?mg?kR?cos?? 令?0 d?d?klkl ?sin??0或cos?? 即?1?0,???cos?12?kR?mg?2?kR?mg? Ep?mgR(1?cos2?)?研究稳定性：

d2Epd?22?2Rco?s?kl?2?mg?kR?co?s??4R?mg?kR?sin?

① 对于?1?0,Ep?0??4R?mg????1?kl?kR? 2???·当mg?kR?kl/2?0,即mg?kR?kl/2时,Ep?0??0,?1?0为稳定平衡点。 ·当mg?kR?kl/2?0,即mg?kr?kl/2时,Ep?0??0,