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I等于多大才能把绳子打断？

T0?mgT?mgv2?T0?mg?v?l. I?mv?0?I?m0l 解:向心力F?memm故I?m(T0?mg)l?[500?10?3(1?9.8?500?10?3?9.8)?30.0?10?2]12?0.86kg?m/s

习题2-4 习题2-3

2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为m1和m1，设子弹透过两木块的时间间隔为t1和t2。设子弹在木块中所受阻力为恒力f，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动。

解:当子弹穿出m1时, m1与 m2一起运动,故 ft1?(m1?m2)v1; v1? 当子弹穿出m2时, ft2?m2v2?m2v1 v2?v1?ft1.

m1?m2ft2ft1ft??2. m2m1?m2m2

2-5 质量70kg的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg．若渔人在船上向船头走4.0m后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？

解:设人向右走,对岸速度为ｖ人,相对船的速度为ｕ人,船向左行,对岸的速度为ｖ船,,

则ｖ人=-ｖ船+ｕ人.水平方向动量守恒:ｍ船ｖ船-ｍ人(-ｖ船+ｕ人)= (ｍ船 +ｍ人) ｖ船-ｍ人ｕ人=0. 两边积分得:(m船?m人)v船dt?m人0?t?u0tt人dt?(m船?m人)S船?m人S人对船

?S船? S人?m人m船?m人t0S人对船?70?4?1.4m. (对岸上) 200?t0v人dt??v船dt??u人dt??S船?S人对船??1.4?4?2.6m.(对岸).

0

2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s．当两船擦肩相遇时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s．设甲船空载质量为50kg，货物质量为60kg，求乙船质量。

解: m甲=500kg,m货=60kg,m乙 待求.v0=6.0m/s,v乙=4.0m/s. 忽略水中阻力,两船作为一个系统,其动量守衡.即: (m甲+ m货)v0-m乙v0=m甲v0-( m乙+m货)v?m乙?v0?v乙6?4m货??60?300kg.

v0?v乙6?4

2-7 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速率均为v．由中间那只船上同时以水平速率M(相对于船)把两质量均为m的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。

解:设v前、v中、v后分别为前、中、后三船的待求速度.u与v同向时为正,反之为负,由水平方向的动量守衡定律,有:

前:Mv?m(v中?u)?(M?m)v前

中:Mv?(M?2m)v中?m(v中?u)?m(v中?u) 后:Mv?m(v中?u)?(M?m)v后 可推出: v前=v?mmu v中=v v后=v?u

M?mM?m∵u的正方向与v同向,∴三船的速率分别为:

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v前?v?mmu,v中?v,v后?v?u

M?mM?m

2-8 一质量为M的有轨板车上有N个人，各人质量均为m．开始时板车静止。(1)若所有人一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为u，求跳离后车子的速度；(2)若N个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为u，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？ 解:(1)设车子的速度为v车,由水平方向的动量守恒得:

Nmu (1)

M?Nmm (2)第一人跳:[M?(N?1)m]v车1?m(v车1?u)?0?v车1??u (2)

M?Nm 第二人跳: [M?(N?2)m]v车2?m(v车2?u)?[M?(N?1)m]v车1

m11 ?v车2?v车1?u??m[?u(3)

M??N?1?mM?NmM?(N?1)m ?

最后一个人跳: Mv车N?m(v车N?u)?(M?m)v车N?1

m11mm?v车N?v车N?1?u??m[?????]u

M?mM?NmM?(N?1)mM?2mM?m M?Nm(v车?u)?0?v车??这是车子最后速度的表达式. (3)比较(1)式和(4)式,显然有

v车N?v车.即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,能使车

子最后获得更大的动能.但若各个人的相对车的速率不是u,则结论刚好相反.参见3-26题.

2-9 一炮弹以速率v0和仰角?0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块(见本题图)，其中一块以速率v1铅垂下落，求另一块的速率v2及速度与水平方向的夹角(忽略空气阻力)。 解:炮弹在最高点时vx?v0cos?0,vy?0.

在爆炸瞬间,内力>>重力，即外力可忽略不计，故此时动量守衡： 1m(v1?v2)?mvxi?mvyxj?mvxi.

21?mv?mvcos??mv2cos?x00??22?v2?v12?4v0cos2?0. 即??0?1mvsin??1mv21?22?2vcos?0v1v?1?sin?11?cos?10 ??tg

2v0cos?0v2v2

2-10 求每分钟射出240发子弹的机枪平均反冲力，假定每粒子弹的质量为10g，枪口速度为900m/s。

解:设平均反冲力为F=射击时所需的平均力

Ft?机枪的动量变化=子弹的动量变化=240mv-0=240mv

240mv240?10?10?3?900??36N ?Ft?t602-11 一起始质量为M0的火箭以恒定率|dM/dt|=u排出燃烧过的燃料，排料相对于火箭的速

率为v0．(a)计算火箭从发射台竖直向上起动时的初始加速度；(b)如果v0=2000m/s，则对于一个质量为100t的这种火箭，要给以等于0.5g的向上初始加速度，每秒钟必须排出多少kg的燃料？

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解:(1)仿照书上P.50的推导,可得火箭经过dt时间后动量的改变为

dv?v0dM?F dtdvdM 在发射台附近,m=m0,??,F=M0g.v0与F方向向下.设?a0 dtdtv 则有: M0a0?v0???M0g?a0?0??g

M0 P?P0?mdv?v0dM?Fdt 则 mM0100?103(a0?g)?(0.5?1)?9.8?735kg/s. (2) ??v02000

2-12 一个三级火箭，各级质量如下表所示，不考虑重力，火箭的初速为0． 级别 发射总质量 燃料质量 燃料外壳质量 60 t 40 t 10 t 一级 10 t 20/3 t 7/3 t 二级 11 t 2/3 t 三级 (1)若燃料相对于火箭喷出速率为u=2500m/s，每级燃料外壳在燃料用完时将脱离火箭主体。设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率；

(2)若把48t燃料放在12t的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。 解:(1)由P.50的(2.10)式,变为

?vv0dv??c?mdm?v?v0?cln0. m0mmm 对第一级火箭:v1?clnm060?2500ln?2500ln3. m60?40 对第二级火箭:v2?v1?2500ln10?5000ln3.

10?20/31?7500ln3?8239.6m/s.

1?2/3 对第三级火箭:v3?v2?2500ln (2)v?2500ln60?2500ln5?4023.6m/s.

60?48

2-13 一宇宙飞船以恒速v在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为u，方向与v相反，在时刻t飞船的总质量为M(t)，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？

P?P0?[M(t)?dm](v?dv)?[M(t)v?udm]解:由动量定理得:

dvdm ?M(t)?(v?u)?M(t)dv?(v?du)dm?Fdtdtdt两边求导得:M(t)dvdm?(v?u)?F. dtdt新 概 念 力 学 习 题 集 第 8 页

∵要求飞船匀速,故

dv=0,v与u的方向相反,以v为正向, dt 则 F?(v?u)dmdm为向前的推力.此式的v、u为绝对值. ?F?(v?u)dtdt

2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率v运动着(见本题图)。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是dm／dt，，试问：

(1)要保持传送带以恒定速率v运动，水平总推力F多大？

(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？ 解:(1)在水平方向上,由动量定理得:

(m?dm)(v?dv)?mv?mdv?vdm?Fd t 两边求导得F?mdvdm ?vdtdt当要求传送带以匀速运动时,水平总推力为F?vdm(向前) dt(2)在光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重.用力公式同上.

则:F?vdm 即沙子持续进来,便要持续施力.以上问题的答案不改变 dt

2-15 一质量为m的质点在x-y平面上运动，其位矢为r =a cos?ti+bsin?tj，求质点受力的情况。

x2y2解:x?acos? t,y?bsin? t,2?2?1.椭圆. v?dxi?dyj??? asin? ti?? bsin? tj

abdtdta?dv???2acos? ti?? 2bsin? tj???2r.质点受力f?ma??m?2r恒指向原点. dt

2-16 如本题图所示，一质量为mA的木块A放在光滑的水平桌面上，A上放置质量为mB的另一木块B，A与B之间的摩擦系数为?，现施水平力推A，问推力至少为多大时才能使A、B之间发生相对运动。

?N?mBg?0解: 对B:?

f?ma??N??mg?a??mgBBBBB?rF??mBg 对A:F?fr?mAaA?F??mBg?aA?

mA 当aA?aB 时,A,B 之间发生相对运动?F??(mA?mB)g

2-17 如本题图所示，质量为m2的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m1的立方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？