1V??d2?H?h1?4 (1)

圆筒以转速n1旋转后，将形成如图所示的旋转抛物面的等压面。令h为抛物面顶点到容器边缘的高度。空体积旋转后形成的旋转抛物体的体积等于具有相同底面等高的圆柱体的体积的一半：

V?112??dh24 (2)

由(1)(2)，得

1211?d?H?h1????d2h424 (3)

即

h?2?H?h1? (4)

等角速度旋转容器中液体相对平衡时等压面的方程为

?2r22?gz?C (5)

对于自由液面，C=0。圆筒以转速n1旋转时，自由液面上，边缘处，

r?d2，

z?h，则

得

?d?????2??gh?0 (6) 222??由于

22ghd (7)

??2?n1?n1?n160 (8)

?3022gh602gh???d?d (9)

30??（1）水正好不溢出时，由式(4)(9)，得

602g?2?H?h1?120g?H?h1???d?d (10) 120?9.80665??0.5?0.3??178.3?rmin???0.3

n1?n1?即

（2）求刚好露出容器底面时，h=H，则

（3）旋转时，旋转抛物体的体积等于圆柱形容器体积的一半

602gh602gH60?2?9.80665?0.5???199.4?rmin??d?d??0.3

V?112??dH24 (11)

这时容器停止旋转，水静止后的深度h2，无水部分的体积为

1V??d2?H?h2?4 (12)

由(11)(12)，得

1121??dH??d2?H?h2?244 (13)

得

h2?

12、图2-56所示为一圆筒形容器，高H=0.7m，半径R=0.4m，内装体积V=0.25m3的水，圆筒中心通大气，顶盖的质量m=5kg。试求当圆通绕中心轴以角速度w=10rad/s旋转时顶盖螺栓的受力F。 解：

圆筒容器旋转时，易知筒内流体将形成抛物面，并且其内部液体的绝对压强分布满足方程：

H0.5??0.25?m?22

p=?g(

?2r22g?z)+C （1）

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如图所示，取空气所形成的抛物面顶点为坐标原点，设定坐标系roz ， z=0,r=0 时，有p=pa （圆筒顶部与大气相通）

代入方程（1）可得，C=pa 当

由此可知，圆筒容器旋转时，其内部液体的压强为：

p?pa=?g(?2r22g?z)

令

p=pa 可以得到液面抛物面方程为：z=r?2r22g （2）

下面计算抛物面与顶盖相交处圆的半径0 ，以及抛物面的高度根据静止时和旋转时液体的体积不变原则，可以得到如下方程：气体体积用旋转后的抛物面所围体积中的空气体积来计算：

z0 ，如图所示：

V筒-V气=V水 （3）其中，V筒=?R2H，V水=0.25m3 （4）

2取高度为z，厚度为dz的空气柱为微元体，计算其体积：

dV气=?rdz ，式中r为高度z处所对应抛物面半径，满足z=?2r22g，因此，气体微元体积也可表示为：

dV气=?r2dz=2?g?2zdz

z0?g?g2对上式积分，可得：V=dV=2zdz=z （5） 气?气2?20?0?联立（3）、（4）、（5）式，可得：

?R2H??g2z=0.25，方程中只有一个未知数z0，解方程即可得到：z0=0.575m 20?r=0.336m

r代入方程（2）即可得到：0说明顶盖上从半径0到R的范围内流体与顶盖接触，对顶盖形成压力，下面将计算流体对顶盖的压力N：

紧贴顶盖半径为r处的液体相对压强为（考虑到顶盖两侧均有大气压强作用）：

pe=?g(?2r22g?z0)

则宽度为dr的圆环形面积上的压力为：

dN=pedA=?g(?2r22g?z0)?2?rdr=(???2r3?2??gz0r)dr

积分上式可得液体作用在顶盖上，方向沿z轴正向的总压力：

1RN=?dN=?(???2r3?2??gz0r)dr=??[?2r4?gz0r2]r04r011=??[?2R4?gz0R2??2r04+gz0r02]

4411=3.14?1000?[?102?0.44?9.8?0.575?0.42??102?0.3364+9.8?0.575?0.3362]44=175.6N由于顶盖的所受重力G方向与z轴反向，因此，螺栓受力F=N-G=175.6-5*9.8=126.6N

13、一块面积为90×180的长方形平板浸没在水中，如图所示，求水作用在平板AB上的总压力的大小和压力中心的位置。 解：作用在平板AB右侧的总压力大小：

R1.8)?1.8?0.9=33657N 2ICx总压力F的作用点D位于平板AB的中心线上，其距离液面的高度y=y+

DCyCAF=?ghCA=1000?9.8?(1.22+bL30.9?1.831.8==0.4374 ，为形心的惯性矩。因此，可计算出： =2.12m为形心距离液面的高度， ICx=式中yC=hC=1.22+12122I0.4374yD=yC+Cx=2.12+=2.247m

yCA2.12?1.8?0.9 6 / 20

14、 把2-23题中的平板AB和水平面成45°角放置于水下图2-58中的CD位置上，试求水平作用在平板上的总压力和总压力作用点的位置。 解：选取坐标轴如图所示：

作用在平板CD左侧的总压力大小为

F??ghA?1000?9.8???0.91????1.8sin45????1.8?0.9?24550.6N2?

总压力F的作用点设为N，其位于平板CD的中心线上，距离O点的长度

yN?yc?IcxAyc,

0.911.8??2.19m 为形心距离O点的长度，

sin45?2bL30.9?1.83Icx???0.4374m 为形心的惯性矩。

1212Icx0.4374因此，可计算出yN?yc??2.19??2.31mAyc2.19?0.9?1.8

其中

yc?

15、 如图2-59所示，一铰链固定的倾斜式自动开启的水闸，水闸和水平面的夹角为60°，当水闸一侧的水位H=2m，另一侧水位h=0.4m时，闸门自动开启，试求铰链至闸门下端的距离x。 解：

设水闸宽度为b，水闸左侧水淹没的闸门长度为l1，水闸右侧水淹没的闸门长度为l2。作用在水闸左侧压力为 (1) 其中

则

(2)

作用在水闸右侧压力为

(3) 其中

则

(4)

由于矩形平面的压力中心的坐标为 (5)

所以，水闸左侧在闸门面上压力中心与水面距离为 (6)

水闸右侧在闸门面上压力中心与水面距离为 (7)

对通过O点垂直于图面的轴取矩，设水闸左侧的力臂为d1，则 (8) 得

(9)

设水闸右侧的力臂为d2，则 (10) 得

(11)

当满足闸门自动开启条件时，对于通过O点垂直于图面的轴的合力矩应为零，因此 (12) 则

(13)

16、试画出2-60中曲面AB弱受液体总压力的垂直分力对应的压力体，并标出垂直分力方向。 解：

作图原则：

（1）题目：首先找到曲面边界点和自由液面水平线，从曲面边界点向自由液面作垂线，则自由液面、垂线、曲面构成的封闭面就是压力体。本题目中是虚压力体。力的方向垂直向上。 （2）题目：将与水接触的曲面在圆的水平最大直径处分成两部分，对两部分曲面分别采用压力体的做法进行作图，上弧面是实压力体，力的方向垂直向下，下弧面是包括两部分实压力体，力的方向垂直向上。求交集即可得到最终的压力体。

17、 一扇形闸门如图所示，圆心角α=45o，闸门右侧水深H=3m,求每米所承受的静水总压力及其方向。 解：由几何关系可知，水平方向的总压力：

r=H=32

sin?Fpx=?ghCAx=?g垂直方向的总压力：

H1H?1=1000?9.8??32=44100N22

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等于压力体内的水重量，该压力体为实压力体，垂直分力方向向下：

???1??1?Fpz=?Vg=?g?[r?(r?rcos?)]H??r2??1=?g?[1?(1?cos?)]rH??r2?360360?2??2?45?1? =1000?9.8???[1?(1?cos45)]?32?3??3.14?(32)2?360?2?=11417N说明：绘制压力体如图所示，则易知压力体的体积等于（梯形面积-扇形面积）*闸门长度 则作用在扇形闸门上的总压力为：

22Fp=Fpx+Fpz=441002+114172=45553.9N

设总压力与水平方向的夹角为

? ，则

tan?=FpzFpx=11417=0.259 ，所以?=arctan0.259=26.504410018.一球形盛水容器如图所示，下半球固定，上半球用螺栓和下半球固定在一起，球体的直径d=2m，试求上半球作用于螺栓上的力。 解：

分析：将细管中的液面作为自由液面，球形容器的上表面圆周各点向自由液面作垂线，则可以得到压力体。液体作用于上半球面垂直方向上的分力即为上班球体作用于螺栓上的力，方向向上。 压力体的体积可以通过以直径d的圆为底面，高为d/2的圆柱体体积减去半个球体的体积得到。即

1d14?d?1Vp=V柱?V半球=?d2??????=?d3

4223?2?24因此，液体作用于球面垂直向上的分力为：

3Fpz=?Vpg=11?g?d3=?1000?9.8?3.14?23=10257.3N2424

19、 如图2-64所示，盛水容器的底部有一圆形孔口，用重G=2.452N、半径r=4cm的球体封闭，孔口的直径d=5cm，水深H=20cm，试求提起该球所需的最小力F。 解：压力体分析如右图所示，其中V1为对应是压力体的体积，V2为两边虚压力体体积， 根据受力分析得一下平衡式：

已知H=0.2m，d=0.05m，r=0.04m，G=2.452

V1

F1

F2 G h 计算得：F=4.101N

20、图2-42所示为双液式微压计，A、B两杯的直径均为d1=50mm，用U形管连接，U形管直径d2=5mm，A杯盛有酒精，密度ρ1=870kg/m3，B杯盛有煤油，密度ρ2=830kg/m3。当两杯上的

V2 V2 压强差Δp=0时，酒精煤油的分界面在0—0线上。试求当两种液体的分界面上升到0’—0’位置、h=280mm时Δp等于多少？ 解：ΔP=0 时:ρ1H1=ρ2H2

ΔP 时:P1+ρ1g(H1-ΔH-h)=P2+ρ2g(H2+ΔH-h) ΔH=(d2/d1)2h=(0.005/0.05)2×0.28=0.0028 m ΔP=P1-P2=gΔH(ρ1+ρ2)+gh(ρ1-ρ2)

=9.80665[0.0028×(870+830)+0.28×(870-830)] =9.80665(4.76+11.2)=156.5 Pa

21如图2-46所示，一正方形容器，底面积为b×b=200×200mm2，质量m1=4kg。当它装水的高度h=150mm时，在m2=25kg的载荷作用下沿平面滑动。若容器的底与平面间的摩擦系数Cf=0.3,试求不使水溢出时容器的最小高度H是多少?

解：f=(0.2×0.2×0.15×1000+4) ×9.80665×0.3=29.42 N

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