2001年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛
一、选择题:(以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.)
1.数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数,则( ). (A)a=0 (B)a=-1
(C)a=1 (D)不存在这样的a值
2.如图所示,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C所表示的数最接近的整数是( )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
3.我国古代伟大的数学家祖冲之在距今1500年以前就已经相当精确地算出圆周率?是在
35522为密率、为约率,则( ). 11373333552233335522?????????1.429 (A)3.1415???;(B);(C);(D)
106113710611373.1415926和3.1415927之间,并取
4.已知x和y满足2x+3y=5,则当x=4时,代数式3x+12xy+y的值是( ).
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
5.两个正整数的和是60,它们的最小公倍数是273,则它们的乘积是( ). (A)273 (B)819 (C)1911 (D)3549
6.用一根长为a米的线围成一个等边三角形, 测知这个等边三角形的面积为b平方米.现于这个等边三角形内任取一点P,则点P到等边三角形三边距离之和为( )米.
(A)
2
2
2b4b6b8b; (B); (C); (D) aaaa7.If we letbe the greatest prime number not more than a, thenthe result of
the expression<<3>×<25>×<30>>is ( ). (A)1333 (B)1999 (C)2001 (D)2249
(greatest prime number最大的质数;result 结果;expression表达式)
8.古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸. 地支有12个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行:
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸??
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥??
从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅??则当第2 次甲和子在同一列时,该列的序号是( ).
(A)31 (B)61 (C)91 (D)121
2
9.满足(a-b)+(b-a)·│a-b│=ab,(ab≠0)的有理数a和b,一定不满足的关系是( ) (A)ab<0 (B)ab>0 (C)a+b>0 (D)a+b<0 10.已知有如下一组x、y和z的单项式:
7xz,8xy,
323
121242323
xyz,-3xyz,9xzy,xy,-xyz,9yz,xzy,0.3z. 25 我们用下面的方法确定它们的先后次序:对任两个单项式,先看x的幂次,规定x幂次
高的单项式排在x幂次低的单项式的前面;再看y的幂次,规定y的幂次高的排在y的幂次低的前面;再看z的幂次,规定z的幂次高的排在z的幂次低的前面.
3
将这组单项式按上述法则排序,那么,9yz 应排在( ). (A)第2位 (B)第4位 (C)第6位 (D)第8位 二、计算题
11.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角,则这个锐角的度数等于__________.
220012000
12.If a+a=0,then the resul of a+a+12 is___________. 13.已知:如图,△ABC中,D,E,F,G均为BC边上的点,且BD=CG,DE=GF=
若S△ABC=1,则图中所有三角形的面积之和为_________.
A1BD, EF=3DE. 2B
14.使关于x的方程│x│=ax+ 1 同时有一个正根和一个负根的整数a 的值是______. 15.小明的哥哥过生日时,妈妈送了他一件礼物:即3年后可以支取3000元的教育储蓄.小明知道这笔储蓄年利率是3%(按复利计算).则小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存储_________元(银行按整数元办理存储). 16.m为正整数.已知二元一次方程组?2
DEFGC?mx?2y?10 有整数解,
3x?2y?0?即x,y均为整数, 则m=____.
17.已知:如图,长方形ABCD中,F是CD的中点,BC=3BE,AD=4HD.若 长方形的面积是300平方米,则阴影部分的面积等于________平方米.
18.一幅图像可以看成由m行n列个小正方形构成的大矩形,其中每个小正方形称为一个点,每个点的颜色是若干个颜色中的一个.给定了m,n 以及每个点的颜色就确定了一幅图像.现在,用一个字节可以存放两个点的颜色.那么当m和n 都是奇数时,至少需要______个字节存放这幅图像的所有点的颜色.
19.在正整数中,不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是________.
20.在密码学中,称直接可以看到的内容为明码, 对明码进行某种自理后得到的内容为密码.对于英文,人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25.现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为x1,x2,x3,x4,已知:整数x1+2x2,3x2,x3+2x4,3x4 除以26的
余数分别为9,16,23,12,则密码的单词是___________. 三、解答题
21.有依次排列的3个数:3,9,8.对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8. 继续依次操作下去,问:从数串3,9,8 开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?
22.如图,AB∥ED,α=∠A+∠E, β=∠B+∠C+∠D.
证明: β=2α.
EDACB
23.一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位. 生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料,售价为45.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、 小猫的个数,可以使小熊和小猫的总售价尽可能高.请用你所学过的数学知识分析, 总售价是否可能达到2200元?
2001年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：
nnn
一、1.根据题意,对任意正奇数n,a=-a ,如果a<0,则-a>0,而a<0, a≠-a,因此a不能是负数.
nn
如果a>0,则-a<0, a≠-a,而a>0,因此a不能是正数.
nn
由于0的相反数是0,所以a=0时, a=0=0=-a成立.选(A) 2.由图可知AF=11-(-5)=16, 又AB=BC=CD=DE=EF=a ∴ a=
16=3.2 5 ∴ C点坐标-5+3.2+3.2=1.4
∴ 与C表示的数最接近的整数是1,选(C). 3.经计算3.1415?33335522????,选(C). 10611374.∵ 2x+3y=5
∴ x=4时,y=-1.
22
∴3x+12xy+y=1, 选(D). 5.设两个正整数为a与b,则
2
a+b=60=2×3×5 [a,b]=273=3×7×13.
显然a,b的最大公约数是1或3. 如果(a,b)=1,则[a,b]=a×b.
a、b只能取(21,13),(7,39),(1,273),(3,91),其和均不为60. 因此(a,b)=3,于是 a=3×7,b=3×13
∴ a×b=(3×7)×(3×13)=819.选(B).
6.如图,用一根长为a米的线围成一个等边三角形ABC,则其边长为
Aa米, 3zxBPyC
即AB=BC=CA=
a米. 3 设P点到三边的距离分别为x,y,z,且SΔABC=b, 又 SΔPBC+SΔPCA+SΔPAB=SΔABC