1．1.2 弧 度 制

角度制与弧度制 [提出问题]

问题1：在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？ 提示：1°.

问题2：半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角是360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？

提示：180°.

问题3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：确定． [导入新知] 1．角度制与弧度制 (1)角度制

①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的(2)弧度制

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. [化解疑难]

角度制和弧度制的比较

(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．

(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．

(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度

- 1 -

1

作为一个单位． 360

lr量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.

角度与弧度的换算 [提出问题]

问题1：周角是多少度？是多少弧度？ 提示：360°，2π.

问题2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 提示：180°，π.

问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？ 提示：π＝180°. [导入新知]

1．弧度与角度的换算

角度化弧度 360°＝2π rad 180°＝π rad π1°＝ rad≈0.017 45 rad 180 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 弧度 [化解疑难]

角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad， π

充分利用1°＝ rad，

1801 rad＝?

0° 0 30° π 645° π 460° π 390° π 2120° 2π 3135° 3π 4150° 5π 6180° π 弧度化角度 2π rad＝360° π rad＝180° 1 rad＝??180?°≈57.30° ??π??180?°进行换算．

??π?

(2)方法：

设一个角的弧度数为α，角度数为n， 180?π?则α rad＝?α·?°；n°＝n· rad. π?180?

弧度制下的扇形的弧长及面积公式 [导入新知] 扇形的弧长及面积公式

- 2 -

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

扇形的弧长 扇形的面积 [化解疑难] α为度数 l＝παR 1802α为弧度数 l＝αR S＝lR＝αR2 1212παRS＝ 360扇形的弧长及面积公式的记忆

(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：|α|＝?l＝r|α|. 1

(2)扇形的面积公式S＝lR与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作

2高)，可以类比记忆．

lr

角度与弧度的换算 [例1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： 2π

(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. 9π2π

[解] (1)72°＝72×＝；

1805π5π

(2)－300°＝－300×＝－；

1803(3)2＝2×?

?180?°＝?360?°；

??π??π???

2π?2π180?(4)－＝－?×?°＝－40°.

π?9?9[类题通法] 角度与弧度互化技巧

π

在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×

180180

＝弧度数，弧度数×＝度数．

π

[活学活用]

π7π

已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的

1012大小．

- 3 -

答案：α<β<γ<θ＝φ

扇形的弧长公式及面积公式的应用 [例2] (1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm. (2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？

[解] (1)4

(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1)，

12扇形的面积是Rl＝(π－1)R.

2[类题通法]

弧度制下涉及扇形问题的攻略

112

(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r(其中l是扇形的弧长，r是扇形的

22半径，α是扇形的圆心角)．

(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． [活学活用]

已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

152252

答案：r＝ cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为 cm.

24

用弧度制表示角的集合 [例3] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

2

lR

[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即π－， 6

- 4 -