1?

0f(x)?f(0)dx,(p?1).当1

n??x???limf(x)?0.

2008年华南师范大学数学分析

一.(15分)设un?0,lim

un?1?a,0?a?1,证明limun?0.

n??un??n

二.(15分)设S?R为有界集，证明必存在数列?xn??S,使limxn?supS.

n??

x为有理数?x, 三.(15分)设f(x)??2

?x?x, x为无理数(1)证明若x?0，则f在x处不连续；(2)计算f?(0).

四.(15分)设n为自然数，求不定积分In??xncosxdx的递推公式，并计算

3x?cosxdx.

五.(20分)

xnn?x3,x?[0,]，证明lims(x)?s(1),并求s(1). (1)设s(x)??nsinx?122n?12??

(2)证明函数项级数?(1?cosx)cosnx在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.

n?1??

13y六.(15分)求函数z?arctan()在位于圆x2?y2?2x?0上一点(,)处沿这圆

22x周切线方向的方向导数（切线倾斜角?的范围是0????）。

七.(15分)设有n个实数a1,a2,?,an满足a1?

aa2???(?1)n?1n?0，证明方程32n?1

a1cosx?a2cos3x???ancos(2n?1)x?0在区间(0,)中至少有一个根。

2

?八.(20分)设?连续。

????f(x)dx收敛，证明函数g(?)??????f(x)cos(?x)dx在(??,??)上一致

九.(20分)设D?(x,y)x2?y2?r2，L是D的边界曲线，L取逆时针方向为正向。

??n是L的外法线方向上的单位向量，F（P(x,y),Q(x,y)）是定义在D上的连续可微向量函数，计算极限：lim

1r?0?r2?F?nds.

L