2006年华南师范大学数学分析

1.(15分)假设limf(x3)存在，试证明：limf(x)?limf(x3).

x?0x?0x?0

2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。

3.(15分)假设un(x)(n?1,2,?)在[a,b]上连续，级数?un(x)在(a,b)上一致收敛，试

n?1?证明：

（i）?un(a),?un(b)收敛； (ii)?un(x)在[a,b]上一致收敛。

n?1n?1n?1???

?x2y22 (x?y?0)?24.(15分)假设f(x,y)??x?y2,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导

22?0 (x?y?0)?数存在，但此点不可微。

5.(15分)计算曲面积分I???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中s为锥面

sx2?y2?z2(0?z?h)所示部分，方向为外侧。

2007年华南师范大学数学分析

?n?1.(15分)证明数列?n?收敛，并求其极限.

?2?

2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明f?(0)?0；

(2).(10分)只假定f?(0)存在，证明f?(0)?0.

?

3.(15分)求积分：?2sinnxdx,n?0,1,2,?.

0

4.(15分)判别函数列fn(x)?

?2z?z5.(15分)设x?y?z?1，求和2.

?x?x222x,x?(??,??)的一致收敛性.

1?n2x2

6.(15分)利用?e?xdx?0??2

?2和分部积分法求???01?ax2(1?e)dx，其中a>0. 2x

7.(20分)设L是平面区域?的边界曲线，L光滑。u(x,y)在?上二阶连续可微，

?u?2u?2u?u用格林公式证明：.其中n是L上的单位外法向量，(?)dxdy?ds2????n?n?y2??xL是u沿n方向的方向导数.

8.(20分)设f(x)的导函数f?(x)在[0,1]上连续，且f?(0)>0，证明瑕积分