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精品课程《土质学与土力学》 第四章

第三节 二维渗流与流网

上述渗流属简单边界条件下的单向渗流,只要渗透介质的渗透系数和厚度以及两端的水头或水头差为已知,介质内的流动特征均可根据达西定律确定。然而,在工程上遇到的渗流问题,边界条件要复杂得多,水流形态往往是二向或三向的,如图2-14(见教材P49),这时,介质内的流动特性常逐点不同,并且只能以微分方程的形式表示,然后根据边界条件进行求解。

一.稳定渗流场中的拉普拉斯方程

设从稳定渗流场中任取一微分单元土体,其面积为dxdy,如图若单位时间内在x方向流入单元体的水量为qx,流出的水量为qx+

?qxdx,在y方向流入的水量为qy,流出的水?x量为qy??qy?ydy。

假定在渗流作用下单元的体积保持不变,水又是不可压缩的,则单位时间内流入单元体的总水量必等于流出的总水量,即

?qy?qxdx )+( qy?qx+qy=(qx+ dy ) ?x?y即

?qy?qxdx+dy=0 ?x?y?H ?x根据达西定律,qx=Kxixdy , qy=Kxiydx;其中x和y 方向的水力坡降分别为ix=iy=

?H ,将上列关系式代入上式中并经简化后可得: ?y?2H?2HKx + Ky =0 22?y?y这就是各向异性土在稳定渗流时的连续方程。 式中:Kx,Ky分别为x和y方向的渗透系数

H 总水头或测压管水头。

如果土是各向同性的,即kx=ky,则上式可改写成

?2H?2H+=0 22?x?y这就是著名的拉普拉斯方程,它是描述稳定渗流的基本方程式。

二.流网的特征及应用

众所周知,满足拉普拉斯方程的将是两组彼此正交的曲线。就渗流而言,一组曲线称为等式线,在任一条等势线上各点的势能是相等的,或者说,在同一条等式线上的侧压水位都是同高的,

另一组曲线称为流线,它们代表渗流的方向。

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但必须指出,只有满足边界条件的那一种流线和等势线的组合形式才是方程式

?2H?2H+=0的正确解答。 22?x?y流网即为一族流线和等势线交织而成的网格,根据水力学,具有下列特征: (1)流线和等势线彼此正交;

(2)每个网格的长宽比值为常数,这时的网格就成为正方形或曲线正方形; (3)相邻等势线的水头损失相等; (4)各流糟的渗流量相等。

为了求得满足边界条件的解答,常用的方法主要有(1)解析法,(2)数值法(3)实验法(4)图解法;在工程上广泛应用的多为图解法。该法具有简便,迅速的优点。

但不论采用那种方法求解,其最后结果通常均可用流网表示。流网绘出后,即可求得渗流场中各点的测管水头,水力坡降,渗透流速和渗流量。 1.测管水头

水头损失?h?????? Nn?1式中: ?? 上,下游水位差

N 等势线间隔数

n 等势线数

?h 每一条等势线间隔所消耗的水头 从而可求流网中任一点的测管水头h?hu?z

2.孔隙水压力u

渗流场中各点的孔隙水压力,等于该点以上测压管中的水柱高度hu乘以水的容重rw

u?hu?rw

3.水力坡降

流网中的任意网格的平均水力坡降:

i??h ?l?l为该网格处流线的平均长度,可见?l减小则流网网格越密。

4.渗透速度

各点的水力坡降已知后,渗透速度的大小可根据达西定律求出:即V=Ki,其方向为流线的切线方向。 5.渗透流量

单宽流量:?q?K?h?s ?l当?h??s时,?q?K?h 即相邻流线间的单宽流量相等。 通过坝下渗流区的总单流量:

q???q?M?q?MK?h

M为流网中的流槽数,M=流线数-1 通过坝底的总渗流量:Q?ql?MK?hl

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l:为坝基长度

(四)各向异性土中的流网

?2H?2H当Kx =Ky 时, +=0 22?x?y但对各向异性土,即Kx ≠Ky时,

?2H?2HKx+Ky=0 普通式

?x2?y2该式已不是拉普拉斯方程,其解也不是两族正交曲线而是斜交曲线。 将上式两边同除以Ky,得

?2H?2H+=0 2Ky?y()?x2Kx令:x'?KyxKx

?2H?2H则:+=0 22?x'?y可见:对于各向异性土,只要把水平坐标x乘以比例尺

KyKx转换新坐标x’,同时

保持y的比例尺不变,就会按各向同性土来处理。由此绘得的流网称变态流网。

利用变态正交流网求渗流量:

?q?Ke?h q?MKe?h

Ke?KxKy (等效渗透系数)

第四节 渗透力和渗透变形

渗流所引起的变形(稳定)问题一般可归结为两类: 一类是土体的局部稳定问题。这是由于渗透水流将土体中的细颗粒冲出,带走或局部土体产生移动,导致土体变形而引起的渗透变形。

另一类是整体稳定问题。这是在渗流作用下,整个土体发生滑动或坍塌。 一 渗透力

水在土体中流动时,将会引起水头的损失,而这种损失是由于水在土体孔隙中流动时,力图拖曳土粒时而消耗能量的结果。我们将渗透水流施于单位土体内土粒上的拖曳力称为渗透力。

1.渗透力演示试验

由教材图可知:

(1)当A与B水平平齐时,则无渗流发生;

(2)若将B提升,则B内的水就透过砂样A从溢水口流出。提得越高,水流越快。

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(3)当B提升到某一高度时,可看到砂土出现像沸腾那样的现象(砂沸)设水下土颗粒有效重力为W’(土粒重力与水的浮力之差),竖直向上的渗透力为J,则土粒实际合力R=W’-J。

当J≥W’时,R≤0,土粒处于悬浮状态,出现上述现象。 2.渗流时的受力分析

从渗流场中取一流网格(土体)ABCD:

AB,DC为等势线,AD,BC为流线,网格长为L,宽为a,(两边h0相等,因为相邻两流线)Q:流线AD与水平线夹角。 (1) 土体整体受力分析

以网格AB,CD整体作为分析对象,网格土体上作用力有:

W=rsat×a×L×1, 为饱和土体自重(土粒重与孔隙水重之和);

Fw1,Fw2,Fw3,Fw4 为周围土体中孔隙水作用在网格边界上的孔隙水压力; Fs1,Fs2,Fs3,Fs4 为周围土颗粒作用在网格边界上的粒间压力; Ts1,Ts2,Ts3,Ts4 为周围土颗粒作用在网格边界上的粒间剪力。 (2) 孔隙水体的受力分析

为研究渗透力,取网格范围内的孔隙水为脱离体,其周边上的孔隙水压力分别由图中的测压管水头来确定。

脱离体上作用力有:

G=rw×V=rw×L×a×1 为孔隙水重力及浮力的反作用之和;

Fw1-Fw2=rw (h1-h2)×a×1 为AB,CD面上孔隙水压力合力,平行水流方向; Fw3-Fw4=rw×h0×l,为AD,BC面上孔隙水压力合力,与水流方向垂直。 设土粒对水流的阻力为Js,沿水流方向分量为Jst,垂直水流方向分量为Jsn 取水流方向的力的平衡,可得

(Fw3-Fw4)-Jsn-Gcosθ=0 因为cosθ=h0/a

所以,Jsn=(Fw3-Fw4)-Gcosθ=rwh0L-rwLa(h0/a)= rwh0L-rwh0L=0

即在垂直流向的分量Jsn=0,也是水流阻力Js=Jst与流线方向重合。 取水流方向力的平衡,可得

(Fw1-Fw2)-Js+Gsinθ=0 Js=(Fw1-Fw2)+Gsinθ

=rw (h1-h2)a+rwla(h2-h1+h)/l =rw×a×?h

渗流对土粒的渗透力与阻力Js大小相等,方向相反,得:

J=Js=rw×a×?h

单位体积土体内土粒所受到的单位渗透力j为:

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