2018-2019学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中考试数学试题(解析版) 下载本文

手F与A, B, C三位选手分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计,选手F获胜的概率分别为,,,且各场比赛互不影响. (1)若选手至少获胜两场的概率大于选,问选手F是否会入选;

(2)求选手F获胜场数X的分布列和数学期望. 【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】(1)选手F与A,B,C的对抗赛获胜,利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可.(2)X的可能值为0,1,2,3.求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可. 【详解】

3214327,则该选手入选世乒赛最终名单,否则不予入1032132112131117 ????????????432432432432248584∵∴F会入选 ?120120(1)P?(2)X的可能值为0,1,2,3.

1111P?X?0?????,

432243111211111P?X?1???????????;

432432432432131112111P?X?2???????????,

432432432243211P?X?3?????

4324所以,X的分布列为:

X P

0 1 2 3 1 241 411 241 4E?X??0?【点睛】

1111123?1??2??3?? 24424412本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 20.已知向量a??sin,3?与b??cos,?cos??x2????x1222x????x??,其中?0,?.

2??2?第 13 页 共 18 页

(1)若a?b,求tanx的值; (2)记函数f(x)?a?b,且f?a??1,求sin?的值. 3【答案】(Ⅰ)tanx?3;(Ⅱ)1?26. 6【解析】(Ⅰ)由a?b,得到a?b?0,得到关于x的式子,整理得tanx的值;(Ⅱ)根据条件得到sin???【详解】

xx1???2解:(Ⅰ)向量a??sin,3?与b??cos,?cos222???a?b.sinx?3cosx?0

????1??,再得到sin?的值. 3?3x??π?x??,其中?0,?. 2??2??tanx?3 π?1π?1??(Ⅱ)f(a)?sin?????,∴sin?????

3?33?3??ππππ0???,∴?????,

3362π???22???cos?????1?sin2?????

333??????π??sin??sin??????3???π?π?ππ?π???sin??cos?cos??sin ????3?3333?????112231?26 ?????32326【点睛】

本题考查向量的数量积,向量垂直的转化,三角函数的给角求值,属于简单题. 21.已知函数f?x??ax?bx?c(a?0)满足f?0??0,对于任意x?R都有

2?1??1?f?x??x,且f???x??f???x?.

?2??2?(1)求函数f?x?的表达式; (2)令g?x??f?x??有情况.

2【答案】(1)f?x??x?x;(2)见解析

?x?1(??0),讨论函数g?x?在区间??1,?2?上零点个数的所

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【解析】(1)利用二次函数的性质,得到对称轴方程,结合不等式恒成立进行求解即可;(2)求出g?x?的解析式,当x?1?时,方程x2?x?1??x在?0,

?1?

?内必有一解,则???

只需要讨论当x?1?时,方程x2?x??x?1在??1?,2?内的解的个数问题,利用一元二???次函数的性质进行讨论求解即可. 【详解】

(1)∵f?0??0,∴c?0,

?1??1?f??x?f∵对于任意x?R,都有?????x?, ?2??2?∴函数f?x?的对称轴为x??21b1??,得a?b ,即?22a2又f?x??x,即ax??b?1?x?0对于任意x?R,都成立, ∴a?0,且???b?1??0. ∵?b?1??0,∴b?1,a?1. ∴f?x??x?x.

222(2)g?x??f?x???x?1?x2?x??x?1,

2∵??0,则即求方程x?x??x?1?,在??1,2?内的解的个数问题.

∵??0,当x?1?时,方程x2?x?1??x在?0,

?1?

?内必有一解. ???

只需考虑x?2?1?时,方程x?x??x?1在?,2?内的解的个数问题. ????12即x??1???x?1?0,判别式???1????4??2?2??3????1????3?,

2当??0时,可得??3.此时x?1.在?,2?上,此时有一解;

?1??3?当??0时,可得0???3.此时f?x??0无解,即此时在?当??0时,可得??3.记两解为x1,x2,(x1?x2),

?1?,2?内无解; ???第 15 页 共 18 页

∵x1?x2?1,必有x1???1?,1?之间, ???取x?2,若2??1?f?2?即??若2??1?f?2?,即??

7

时,解x2??1,2?; 2

7

,x2??2,???; 2

综上,当0???3时,g?x?在??1,2?内有一个零点; 当??3或??当3???【点睛】

本题主要考查了函数的解析式的求解,函数的单调区间,零点存在的判定定理,考查了分类讨论思想的在解题中的应用.属于综合性较强的试题.

7时,g?x?在??1,2?内有两个零点; 27时,g?x?在??1,2?内有三个零点; 2m?R. 22.已知函数f?x??mxln?x?1??x?1,?(1)求函数f?x?在x?0处的切线方程;

(2)当x?0时,f?x??e,求实数m的取值范围.

x(3)求证:ln(n?1)?n2?3n?2(e?2e??nne)(n?N*).

【答案】(1)x?y?1?0;(2)???,?;(3)见解析 【解析】(1)推导出函数f?x?恒过点

??1?2??0,1?.f'?x??mln?x?1??mx?1,f'?0??1.利用导数性质能求出函数f?x?在x?1x(2)令g?x??e??x?1?,x?0.g?0??0.则x?0处的切线方程.

xg'?x??ex?1?0,推导出ex?x?1.m?0时,x?0时,f?x??e恒成立.m?0时,x?0时,f?x??e.令F?x??f?x??e,?x?0?,F?0??f?0??1?0.由

xxex?x?11?.由此能求出实数mF?x??0,可得mxln?x?1??e?x?1,证明:

xln?x?1?2x1x22exx的取值范围.(3)当m?时,ln?x?1??x?1?e,从而ln?x?1??2??,

22xx11令x???0,1?,推导出ln?1?n??lnn?2?1?n??2nen,利用累加法能证明

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