手F与A, B, C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为,,，且各场比赛互不影响． （1）若选手至少获胜两场的概率大于选，问选手F是否会入选；

（2）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望． 【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）选手F与A,B,C的对抗赛获胜，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可．（2）X的可能值为0，1，2，3．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可． 【详解】

3214327，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入1032132112131117 ????????????432432432432248584∵∴F会入选 ?120120（1）P?（2）X的可能值为0，1，2，3．

1111P?X?0?????，

432243111211111P?X?1???????????；

432432432432131112111P?X?2???????????，

432432432243211P?X?3?????

4324所以，X的分布列为：

X P

0 1 2 3 1 241 411 241 4E?X??0?【点睛】

1111123?1??2??3?? 24424412本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用． 20．已知向量a??sin,3?与b??cos,?cos??x2????x1222x????x??，其中?0,?．

2??2?第 13 页 共 18 页

（1）若a?b，求tanx的值； （2）记函数f(x)?a?b，且f?a??1，求sin?的值． 3【答案】（Ⅰ）tanx?3；（Ⅱ）1?26. 6【解析】（Ⅰ）由a?b，得到a?b?0，得到关于x的式子，整理得tanx的值；（Ⅱ）根据条件得到sin???【详解】

xx1???2解：（Ⅰ）向量a??sin,3?与b??cos,?cos222???a?b．sinx?3cosx?0

????1??，再得到sin?的值. 3?3x??π?x??，其中?0,?． 2??2??tanx?3 π?1π?1??（Ⅱ）f(a)?sin?????，∴sin?????

3?33?3??ππππ0???，∴?????，

3362π???22???cos?????1?sin2?????

333??????π??sin??sin??????3???π?π?ππ?π???sin??cos?cos??sin ????3?3333?????112231?26 ?????32326【点睛】

本题考查向量的数量积，向量垂直的转化，三角函数的给角求值，属于简单题. 21．已知函数f?x??ax?bx?c(a?0)满足f?0??0，对于任意x?R都有

2?1??1?f?x??x，且f???x??f???x?．

?2??2?（1）求函数f?x?的表达式； （2）令g?x??f?x??有情况．

2【答案】（1）f?x??x?x；（2）见解析

?x?1(??0)，讨论函数g?x?在区间??1,?2?上零点个数的所

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【解析】（1）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可;（2）求出g?x?的解析式，当x?1?时，方程x2?x?1??x在?0,

?1?

?内必有一解，则???

只需要讨论当x?1?时，方程x2?x??x?1在??1?,2?内的解的个数问题，利用一元二???次函数的性质进行讨论求解即可． 【详解】

（1）∵f?0??0，∴c?0，

?1??1?f??x?f∵对于任意x?R，都有?????x?， ?2??2?∴函数f?x?的对称轴为x??21b1??，得a?b ，即?22a2又f?x??x，即ax??b?1?x?0对于任意x?R，都成立， ∴a?0，且???b?1??0． ∵?b?1??0，∴b?1,a?1． ∴f?x??x?x．

222（2）g?x??f?x???x?1?x2?x??x?1，

2∵??0，则即求方程x?x??x?1?，在??1,2?内的解的个数问题．

∵??0，当x?1?时，方程x2?x?1??x在?0,

?1?

?内必有一解． ???

只需考虑x?2?1?时，方程x?x??x?1在?,2?内的解的个数问题． ????12即x??1???x?1?0，判别式???1????4??2?2??3????1????3?，

2当??0时，可得??3．此时x?1．在?,2?上，此时有一解；

?1??3?当??0时，可得0???3．此时f?x??0无解，即此时在?当??0时，可得??3．记两解为x1,x2,(x1?x2)，

?1?,2?内无解； ???第 15 页 共 18 页

∵x1?x2?1，必有x1???1?,1?之间， ???取x?2，若2??1?f?2?即??若2??1?f?2?，即??

7

时，解x2??1,2?； 2

7

，x2??2,???； 2

综上，当0???3时，g?x?在??1,2?内有一个零点； 当??3或??当3???【点睛】

本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题．

7时，g?x?在??1,2?内有两个零点； 27时，g?x?在??1,2?内有三个零点； 2m?R． 22．已知函数f?x??mxln?x?1??x?1,?（1）求函数f?x?在x?0处的切线方程；

（2）当x?0时，f?x??e，求实数m的取值范围．

x（3）求证：ln(n?1)?n2?3n?2(e?2e??nne)(n?N*)．

【答案】（1）x?y?1?0；（2）???,?；（3）见解析 【解析】（1）推导出函数f?x?恒过点

??1?2??0,1?．f'?x??mln?x?1??mx?1,f'?0??1．利用导数性质能求出函数f?x?在x?1x（2）令g?x??e??x?1?,x?0．g?0??0．则x?0处的切线方程．

xg'?x??ex?1?0，推导出ex?x?1．m?0时，x?0时，f?x??e恒成立．m?0时，x?0时，f?x??e．令F?x??f?x??e,?x?0?，F?0??f?0??1?0．由

xxex?x?11?．由此能求出实数mF?x??0，可得mxln?x?1??e?x?1，证明：

xln?x?1?2x1x22exx的取值范围．（3）当m?时，ln?x?1??x?1?e，从而ln?x?1??2??，

22xx11令x???0,1?，推导出ln?1?n??lnn?2?1?n??2nen，利用累加法能证明

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