1、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|

3.函数y?f(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(x?a)??f(x?b)，则f(x)具有周期性；若f(a?x)??f(b?x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f(a?x)?f(b?x) ?y?f(x)图象关于直线x?(a?x)?(b?x)a?b对称 ?22推论1：f(a?x)?f(a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论2、f(x)?f(2a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论3、f(?x)?f(2a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 2、f(a?x)?f(b?x)?2c ?y?f(x)的图象关于点(a?b,c)对称 2推论1、f(a?x)?f(a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)?f(2a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(?x)?f(2a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称

例题分析：

1．设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则

f(47.5)等于 ( ) （A）0.5 （B）?0.5 （C）1.5 （D）?1.5 2、（山东）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x)，则f(6)的值为（ ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)?2,f(x?1)?f(x?6),求f(10). 4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x?2)?1，若f(1)??5，则f[f(5)]?___ f(x) 5

5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x?1对称。 （1）求f(0)的值；（2）证明f(x)是周期函数；

x)?x0(（3）若f(?x1)?，求x?R时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象。

6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.

又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]． 巩固练习：

1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )

A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：选C f(x)的图像如图．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；

当x∈(0,1)时，由xf(x)<0得x∈?；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)． 故x∈(－1,0)∪(1,3)．

2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈1?1－x

[0,1]时，f(x)＝? ?2?，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

1?x－3

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝??2?. 其中所有正确命题的序号是________． 解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，

则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确； 1?1＋x当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝??2?，

6

函数y＝f(x)的图像如图所示：

当3

1?x－3

f(x)＝f(x－4)＝??2?，因此②④正确，③不正确．答案：①②④

1

0，?时，3．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈??2?3

－?的值等于( ) f(x)＝－x2，则f(3)＋f??2?1111

A．－ B．－C．－ D．－

2345

解析：选C 由f(t)＝f(1－t)得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)， 所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，所以f(x)的周期为2. 又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，

3111

－?＝f(1)＋f??＝0－??2＝－. 所以f(3)＋f??2??2??2?4

4．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．

解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)， ∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.

∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.

ax115、（1）f(x)?x关于点（，）对称：f(x)?f(1?x)?1;

22a?a4x?10，1）对称：f(x)?f(?x)?2 （2）f(x)?x?1?2x?1关于（2（3）若f(x)?f(2a?x),设f(x)?0有n个不同的实数根，则

x1?x2???xn?x1?(2a?x1)?x2?(2a?x2)???xn?(2a?xn)?na.

22(当n?2k?1时，必有x1?2a?x1,?x1?a)

6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.

7

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．

又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时，f(x)＝x，则f(x)的图像如图所示．

1

×2×1?＝当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×??2?4.

7．设f(x)是定义在(??,??)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间?2,3?上，

f(x)??2(x?3)2?4.求x??1,2?时，f(x)的解析式.

解：当x???3,?2?，即?x??2,3?，

f(x)?f(?x)??2(?x?3)2?4??2(x?3)2?4

又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当x??1,2?，即?3?x?4??2时，

有f(x)?f(x?4)?f(x)??2?(x?4)?3??4??2(x?1)?4(1?x?2).22

?f(x)??2(x?1)2?4(1?x?2).

8.设函数f(x)对任意实数x满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)? f(7?x)且f(0)?0,判断函数f(x)图象在区间??30,30?上与x轴至少有多少个交点.

解：由题设知函数f(x)图象关于直线x?2和x?7对称，又由函数的性质得

f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间?0,10?上，

f(0)?0,f(4)?f(2?2)?f(2?2)?f(0)?0且f(x)不能恒为零,

故f(x)图象与x轴至少有2个交点.

而区间??30,30?有6个周期，故在闭区间??30,30?上f(x)图象与x轴至少有13个交点. 9.已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数，周期T?5，函数y?f(x)(?1?x?1)是奇函数.又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x?2时函数取得最小值?5.

（1）证明：f(1)?f(4)?0；（2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式；

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