函数的周期性与对称性
1、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性
性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
3.函数y?f(x)图象本身的对称性（自身对称）
若f(x?a)??f(x?b)，则f(x)具有周期性；若f(a?x)??f(b?x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a?x)?f(b?x) ?y?f(x)图象关于直线x?(a?x)?(b?x)a?b对称 ?22推论1：f(a?x)?f(a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论2、f(x)?f(2a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论3、f(?x)?f(2a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 2、f(a?x)?f(b?x)?2c ?y?f(x)的图象关于点(a?b,c)对称 2推论1、f(a?x)?f(a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)?f(2a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(?x)?f(2a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称
例题分析：
1．设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则
f(47.5)等于 ( ) （A）0.5 （B）?0.5 （C）1.5 （D）?1.5 2、（山东）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x)，则f(6)的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)?2,f(x?1)?f(x?6),求f(10). 4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x?2)?1，若f(1)??5，则f[f(5)]?___ f(x) 1
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x?1对称。 （1）求f(0)的值；（2）证明f(x)是周期函数；
x)?x0(（3）若f(?x1)?，求x?R时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象。
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
巩固练习：
1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈1?1－x
[0,1]时，f(x)＝? ?2?，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
1?x－3
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝??2?. 其中所有正确命题的序号是________．
1
0，?时，3．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈??2?31111
－?的值等于( )A．－ B．－C．－ D．－ f(x)＝－x2，则f(3)＋f??2?2345
4．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．
ax115、（1）f(x)?x关于点（，）对称：f(x)?f(1?x)?_____;
22a?a4x?10，1）对称：f(x)?f(?x)?______ （2）f(x)?x?1?2x?1关于（2（3）若f(x)?f(2a?x),设f(x)?0有n个不同的实数根，则 . x1?x2???xn?_________
6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．
2
7．设f(x)是定义在(??,??)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间?2,3?上，
f(x)??2(x?3)2?4.求x??1,2?时，f(x)的解析式.
8.设函数f(x)对任意实数x满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)? f(7?x)且f(0)?0,判断函数f(x)图象在区间??30,30?上与x轴至少有多少个交点.
9.已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数，周期T?5，函数y?f(x)(?1?x?1)是奇函数.又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x?2时函数取得最小值?5.
（1）证明：f(1)?f(4)?0；（2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式； （3）求y?f(x)在[4,9]上的解析式.
10.已知f(x)?x(
11?)，（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)?0 x2?12，1]上的函数y?f(x)是减函数，且是奇函数，若11、定义在[?1f(a2?a?1)?f(4a?5)?0，求实数a的范围。
?2x?b12．（重庆文）已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。
2?a（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围。
复习题：
22 3
1．已知数列{an}，其前n项和为Sn，点(n,Sn)在抛物线y?等比数列{bn}满足b1b3?321x?x上；各项都为正数的 2211,b5?. 1632（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记Cn?anbn,求数列{Cn}的前n项和Tn．
b2?c2?a28?S?ABC（其2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且
23中S?ABC为△ABC的面积）．
2B?C?cos2A；（Ⅰ）求sin（Ⅱ）若b?2，△ABC的面积为3，求a．
2
3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5．现从一批该日
用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X 频率 1 2 0．2 3 0．45 4 5 a b c （1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5
的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
4. 如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC，AC?BC，H为PC的中点， PA?AC?2，BC?1. （Ⅰ）求证：AH?平面PBC；
（Ⅱ）求经过点PABC的球的表面积。
5.已知抛物线x2?8(y?8)与y轴交点为M，动点P,Q在抛物线上滑动，且MP?MQ?0
（1）求PQ中点R的轨迹方程W；
（2）点A,B,C,D在W上，A,D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到
P H
A
B
C
?????????AB,AC的距离为d1,d2，且d1?d2?2|AD|，证明：?ABC为直角三角形
lnx.（1）求f(x)的极大值； 2x（2）求证：12eln[n?(n?1)?(n?2)?2?1]?(n2?n)(2n?1)(n?N*)
6. 设函数f(x)?aax2?2tx?t??0(a?R)有唯一解时，（3）当方程f(x)?方程g(x)?txf?(x)??0也有2ex2唯一解，求正实数t的值；
函数的周期性与对称性
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