第四节 三角函数的图象与性质

[最新考纲] 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、?ππ?

图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间?－2，2?内的单调性．

??

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

?π?

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，?2，1?，(π，0)，

??

?3π?

?2，－1?，(2π，0)． ???π?

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，?2，0?，(π，－

???3π?

1)，?2，0?，(2π，1)．

??

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 [－1,1] 递增区间： ππ???2kπ－2，2kπ＋2?， ??k∈Z， 递减区间： π3π??2kπ＋，2kπ＋?， 22???k∈Z 递增区间： [2kπ－π，2kπ]， k∈Z， 递减区间： [2kπ，2kπ＋π]， k∈Z 递增区间 ππ???kπ－2，kπ＋2?， ??k∈Z [－1,1] R R R ???π?x?x≠kπ＋，k∈Z2??? ??? ??单调性

奇偶性 对称中心 对称性 对称轴 πx＝kπ＋2 (k∈Z) (kπ，0)，k∈Z 对称中心 π???kπ＋2，0?，k∈Z ??对称轴 x＝kπ(k∈Z) 对称中心 ?kπ??2，0?，k∈Z ??奇函数 偶函数 奇函数 周期性 [常用结论] 1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个1

周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是4个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．函数具有奇偶性的充要条件

函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)； π

函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ＋2(k∈Z)； π

函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ＋2(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ(k∈Z)．

2π 2π π 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．

( )

(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. ( (4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数． ( ) [答案](1)√ (2)× (3)× (4)× 二、教材改编

1．函数y＝tan 2x的定义域是( )

A.??

??x??x≠kπ＋π

?

?4，k∈???Z?? B.??x???????

x≠kππ

2＋8，k∈Z ????

C.??x?

??????

x≠kπ＋π8，k∈Z ??

??

D.??

x??x≠kππ

???

??

2＋4，k∈Z ??

??

D [由2x≠kπ＋πZ，得x≠kππ

2，k∈2＋4，k∈Z， ∴y＝tan 2x

的定义域为???x???

??x≠kπ2＋π4，k∈Z??

???

.] 2．函数f(x)＝cos?

?π??2x＋4??

的最小正周期是 ．

( ) )