第二章 词法分析

2.1 完成下列选择题： (1) 词法分析器的输出结果是 。 a. 单词的种别编码 b. 单词在符号表中的位置 c. 单词的种别编码和自身值 d. 单词自身值 (2) 正规式M1和M2等价是指 。 a. M1和M2的状态数相等 b. M1和M2的有向边条数相等 c. M1和M2所识别的语言集相等 d. M1和M2状态数和有向边条数相等 (3) DFA M(见图2-1)接受的字集为 。 a. 以0开头的二进制数组成的集合 b. 以0结尾的二进制数组成的集合 c. 含奇数个0的二进制数组成的集合 d. 含偶数个0的二进制数组成的集合 【解答】 (1) c (2) c (3) d

0

XY1

0

图2-1 习题2.1的DFA M

2.2 什么是扫描器？扫描器的功能是什么？ 【解答】 扫描器就是词法分析器，它接受输入的源程序，对源程序进行词法分析并识别出一个个单词符号，其输出结果是单词符号，供语法分析器使用。通常是把词法分析器作为一个子程序，每当词法分析器需要一个单词符号时就调用这个子程序。每次调用时，词法分析器就从输入串中识别出一个单词符号交给语法分析器。

2.3 设M=({x,y}, {a,b}, f, x, {y})为一非确定的有限自动机，其中f定义如下： f(x,a)={x,y} f{x,b}={y} f(y,a)=Φ f{y,b}={x,y} 试构造相应的确定有限自动机M′。 【解答】 对照自动机的定义M=(S,Σ,f,So,Z)，由f的定义可知f(x,a)、f(y,b)均为多值函数，因此M是一非确定有限自动机。 先画出NFA M相应的状态图，如图2-2所示。 a

a

bXYb图2-2 习题2.3的NFA M

b用子集法构造状态转换矩阵，如表2-1所示。 表2-1 状态转换矩阵 I Ia Ib {x} {x,y} {y} {y} {x,y} — {x,y} {x,y} {x,y} 将转换矩阵中的所有子集重新命名，形成表2-2所示的状态转换矩阵，即得到 M′=({0,1,2},{a,b},f,0,{1,2})，其状态转换图如图2-3所示。 表2-2 状态转换矩阵 f 字符 a b 状态

0 2 1

1 2 — 2 2 2

将图2-3所示的DFA M′最小化。首先，将M′的状态分成终态组{1,2}与非终态组{0}。其次，考察{1,2}，由于{1,2}a={1,2}b={2}?{1,2}，所以不再将其划分了，也即整个划分只有两组：{0}和{1,2}。令状态1代表{1,2}，即把原来到达2的弧都导向1，并删除状态2。最后，得到如图2-4所示的化简了的DFA M′。 a 02a, b bb 1 图2-3 习题2.3的DFA M′

a

01a, b b图2-4 图2-3化简后的DFA M′

2.4 正规式(ab)*a与正规式a(ba)*是否等价？请说明理由。 【解答】 正规式(ab)*a对应的NFA如图2-5所示，正规式a(ba)*对应的NFA如图2-6所示。 2

ab

?a

X1Y图2-5 正规式(ab)*a对应的NFA

2

ba a?X1Y

图2-6 正规式a(ba)*对应的DFA

这两个正规式最终都可得到最简DFA，如图2-7所示。因此，这两个正规式等价。

a

01 图2-7 最简NFA

b

2.5 设有L(G)={a2n+1b2ma2p+1| n≥0,p≥0,m≥1}。 (1) 给出描述该语言的正规表达式； (2) 构造识别该语言的确定有限自动机(可直接用状态图形式给出)。 【解答】 该语言对应的正规表达式为a(aa)*bb(bb)*a(aa)*，正规表达式对应的NFA如图2-8所示。 256 aabbaa abbaX134Y图2-8 习题2-5的NFA

用子集法将图2-8确定化，如图2-9所示。 由图2-9重新命名后的状态转换矩阵可化简为(也可由最小化方法得到) {0,2} {1} {3,5} {4,6} {7} 按顺序重新命名为0、1、2、3、4后得到最简的DFA，如图2-10所示。

IIaIbSab {X}{1}—01— {1}{2}{3}123 {2}{1}—21—重新命名 {3}—{4}3—4 {4}{Y}{5}475 {5}—{4}5—4{Y}{6}—76— {6}{Y}—67— 图2-9 习题2.5的状态转换矩阵 aba abba 01234

图2-10 习题2.5的最简DFA

2.6 有语言L={w|w∈(0,1)+，并且w中至少有两个1，又在任何两个1之间有偶数个0}，试构造接受该语言的确定有限状态自动机(DFA)。 【解答】 对于语言L，w中至少有两个1，且任意两个1之间必须有偶数个0；也即在第一个1之前和最后一个1之后，对0的个数没有要求。据此我们求出L的正规式为0*1(00(00)*1)*00(00)*10*，画出与正规式对应的NFA，如图2-11所示。 00

23470图2-11 习题2.6的NFA

100000

X1105061Y用子集法将图2-11的NFA确定化，如图2-12所示。

II0I1S01 {X}{X}{1}001 {1}{2,5}—12— {2,5}{3,6}—23—重新命名{3,6}{4,7}{1,Y}345 {4,7}{3,6}—43— {1,Y}{2,5,Y}—56——67— {2,5,Y}{3,6,Y}{1,Y}785 {3,6,Y}{4,7,Y}{4,7,Y}{3,6,Y}—87— 图2-12 习题2.6的状态转换矩阵

由图2-12可看出非终态2和4的下一状态相同，终态6和8的下一状态相同，即得到最简状态为

{0}、{1}、{2,4}、{3}、{5}、{6,8}、{7} 按顺序重新命名为0、1、2、3、4、5、6，则得到最简DFA，如图2-13所示。 0 00

1001000123456

1图2-13 习题2.6的最简DFA 2.7 已知正规式((a|b)*|aa)*b和正规式(a|b)*b。 (1) 试用有限自动机的等价性证明这两个正规式是等价的； (2) 给出相应的正规文法。 【解答】 (1) 正规式((a|b)*|aa)*b对应的NFA如图2-14所示。

3

aa

??b X12Y

??

a4b

图2-14 正规式((a|b)*|aa)*b对应的NFA

用子集法将图2-14所示的NFA确定化为DFA，如图2-15所示。

IIaIbSa

12 {X,1,2,4}{1,2,3,4}{1,2,4,Y}重新命名

{1,2,3,4}{1,2,3,4}{1,2,4,Y}22

{1,2,4,Y}{1,2,3,4}{1,2,4,Y}32

图2-15 图2-14确定化后的状态转换矩阵

b333 由于对非终态的状态1、2来说，它们输入a、b的下一状态是一样的，故状态1和状态2可以合并，将合并后的终态3命名为2，则得到表2-3(注意，终态和非终态即使输入a、b的下一状态相同也不能合并)。 由此得到最简DFA，如图2-16所示。 正规式(a|b)*b对应的NFA如图2-17所示。 表2-3 合并后的状态转换矩阵 S a b 1 1 2 2 1 2

a

b

12ba

图2-16 习题2.7的最简DFA

a

??b

X12Y

b

图2-17 正规式(a|b)*b对应的NFA

用子集法将图2-17所示的NFA确定化为如图2-18所示的状态转换矩阵。

IIaIbSab

{X,1,2}{1,2}{1,2,Y}123重新命名

{1,2}{1,2}{1,2,Y}223

{1,2}{1,2,Y}323 {1,2,Y}图2-18 图2-17确定化后的状态转换矩阵

比较图2-18与图2-15，重新命名后的转换矩阵是完全一样的，也即正规式(a|b)*b可以同样得到化简后的DFA如图2-16所示。因此，两个自动机完全一样，即两个正规文法等价。 (2) 对图2-16，令A对应状态1，B对应状态2，则相应的正规文法G[A]为 G[A]：A→aA|bB|b

B→aA|bB|b G[A]可进一步化简为G[S]：S→aS|bS|b(非终结符B对应的产生式与A对应的产生式相同，故两非终结符等价，即可合并为一个产生式)。

2.8 下列程序段以B表示循环体，A表示初始化，I表示增量，T表示测试： I=1;

while (I<=n) {

sun=sun+a[I]; I=I+1;}

请用正规表达式表示这个程序段可能的执行序列。

【解答】 用正规表达式表示程序段可能的执行序列为A(TBI)*。 2.9 将图2-19所示的非确定有限自动机(NFA)变换成等价的确定有限自动机

b(DFA)。

2 a? 1baa

Ya Xbb

b34

?a ?图2-19 习题2.9的NFA

其中，X为初态，Y为终态。 【解答】 用子集法将NFA确定化，如图2-20所示。

IIaIbSab

{X}{1}{3}012

{1}{2,3,Y}{3,Y}134 {3}—{3,4}2—5重新命名{2,3,Y}{2,3,Y}{2,3,4,Y}336

{3,Y}{2,3,Y]{3,4}435

{3,4}{3,4}{3,4,Y}557 {2,3,4,Y}{2,3,4,Y}{2,3,4,Y}666767图2-2习题2.9的状态转换矩阵 {3,4,Y}{2,3,4,Y}{3,4,Y}图2-20所对应的DFA如图2-21所示。

a

a3b a1 a6abb 04

bba2

b57 b

ab图2-21 习题2.9的DFA

aa 1 ba5a 04bb bb2 b3 图2-22 习题2.9的最简DFA a

对图2-21的DFA进行最小化。首先将状态分为非终态集和终态集两部分：{0,1,2,5}和

{3,4,6,7}。由终态集可知，对于状态3、6、7，无论输入字符是a还是b的下一状态均为终态集，而状态4在输入字符b的下一状态落入非终态集，故将其化为分 {0,1,2,5}, {4}, {3,6,7} 对于非终态集，在输入字符a、b后按其下一状态落入的状态集不同而最终划分为 {0}, {1}, {2}, {5}, {4}, {3,6,7} 按顺序重新命名为0、1、2、3、4、5，得到最简DFA如图2-22所示。

2.10 有一台自动售货机，接收1分和2分硬币，出售3分钱一块的硬糖。顾客每次向机器中投放≥3分的硬币，便可得到一块糖(注意：只给一块并且不找钱)。 (1) 写出售货机售糖的正规表达式； (2) 构造识别上述正规式的最简DFA。 【解答】 (1) 设a=1，b=2，则售货机售糖的正规表达式为a (b|a(a|b))|b(a|b)。 (2) 画出与正规表达式a(b|a(a|b))|b(a|b)对应的NFA，如图2-23所示。

3 ab

1b aa YXa b

2b

图2-23 习题2.10的NFA

用子集法将图2-21的NFA确定化，如图2-24所示。 IIaIbSab重新命名 {X}{1}{2}012 {1}{3}{Y}134{Y}{Y}244 {2}{Y}{Y}344 {3}——4—— {Y}图2-24 习题2.10的状态转换矩阵

由图2-24可看出，非终态2和非终态3面对输入符号a或b的下一状态相同，故合并为一个状态，即最简状态{0}、{1}、{2，3}、{4}。按顺序重新命名为0、1、2、3，则得到最简DFA，如图2-25所示。 b1a

0ab2ab3图2-25 习题2.10的最简DFA