2020高考数学二轮复习 专题6 立体几何 教案 文 精品 下载本文

∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中,BE=

2a, BP=2a,∴∠BPE=30° 即2BP与平面PCD所成角为30°

例12.在四棱锥P-ABCD中,已知ABCD为矩形,PA ⊥平面ABCD,设PA=AB=a,BC=2a,求二面角B-PC-D的大小

P

D

A

B C

解析1.定义法 过D作DE ⊥PC于E,过E作EF ⊥PC于F,连接FD,由二面角的平面角的定义可知?DEF是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可

P P E P

Q N

G F M

D D D E A A A

⊥PC【解法一】过D作FDE 于E,过F,连接FD,由二面角的平面角的定义可B E作EF ⊥PC于C B C B C

知?DEF是所求二面角B-PC-D的平面角

解析二解析三解析一在四棱锥P-ABCD中, PA ⊥平面ABCD且ABCD 为矩形,∵AD⊥DC∴PD⊥DC

PD?DC30aCD26a??∵PA=a,AD=BC=2a,∴PD=5a,PC=6a,DE=,CE=

PC6CP6PBEFEC?PB3?EF??a, 同理在Rt△PBC中,

BCECBC651a, 在Rt△EFC中,FC=a, 在Rt△DFC中,DF=22EF2?ED2?DF210??在△DEF中由余弦定理cos?DEF=

2EF?ED510所求二面角B-PC-D的余弦值为?

5解析2.垂面法 易证面PAB⊥面PBC,过A作AM ⊥BP于M,显然AM ⊥面PBC,从而有AM ⊥PC,同法可得AN ⊥PC,再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q,则?MQN为二面角B-PC-D的平面角;再利用三面角公式可解 【解法二】略

解析3.利用三垂线求解 把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC,显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补,转化为求二面角E-PC-D。

易证面PEDA ⊥PDC,过E作EF ⊥ PD于F,显然PF ⊥面PDC,在面PCE内,过E作EG ⊥PC于G,连接GF,由三垂线得GF⊥ PC 即?EGF为二面角E-PC-D的平面角,只需解△EFG即可

P

解析4.在面PDC内,分别过D、B作DE ⊥PC 于E,

BF ⊥PC于F,连接EF即可。

利用平面知识求BF、EF、DE的长度, D A 再利用空间余弦定理求出? 即可

F B C

解析四

【点评】.用几何法求二面角的方法比较多,常见的有: (1)定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析1 (2)三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线,如解析2

(3)垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析3 用几何法将二面角转化为其平面角,要掌握以下三种基本做法:①直接利用定义,图(1).②利用三垂线定理及其逆定理,图 (2).最常用。③作棱的垂面,图(3).

A O

B

M N ? ?

? ? P O (2)

A

P A ?

? B O

(3)

(1) 【模拟演练】 一、选择

1.已知正方体外接球的体积是

324?,那么正方体的棱长为( ) 3A.23 B.33 C.3 D.3

2.一个几何体的三视图如图所示,已知侧视图是一个等腰三角形, 根据图中尺寸(单位:cm),可知这个几何体的体积是( )

45556正视图侧视图6俯视图

3A.60 cm3 B.50 cm3 C.30 cm3 D.303 cm

4.已知、m是不重合的直线,?、?、?是两两不重合的平面,给出下列命题:①若

l??,m??,l?a,m?a,则a??;②若m//l,m??,则l??;③若???,

l??,则l??;④若????m,????l,?//?,则m//l.其中真命题的序号为

A ①②

( ) B ①③

C ①④

D ②④

5. 在正三棱锥A?BCD中,E,F分别为AB、CD的中点,若EF与BD所成的角为则EF与AC所成的角为( ) A.

?,6???? B. C. D. 6432

7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,M、N分别是A1B1,AB的中点,P点在线段AC1上,则MP与平面B1CN的位置关系是 ( ) A.垂直

B.平行

C.相交但不垂直 D. 要依P点的位置而定

A1MB1C1PANBC