∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=

2a, BP=2a,∴∠BPE=30° 即2BP与平面PCD所成角为30°

例12.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小

P

D

A

B C

解析1.定义法 过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知?DEF是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可

P P E P

Ｑ Ｎ

G F Ｍ

D D D Ｅ A A A

⊥PC【解法一】过D作ＦDE 于E，过F，连接FD，由二面角的平面角的定义可B E作EF ⊥PC于C B C B C

知?DEF是所求二面角B-PC-D的平面角

解析二解析三解析一在四棱锥P-ABCD中， PA ⊥平面ABCD且ABCD 为矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC

PD?DC30aCD26a??∵PA=a，AD=BC=2a，∴PD=5a,PC=6a,DE=,CE=

PC6CP6PBEFEC?PB3?EF??a， 同理在Rt△PBC中，

BCECBC651a, 在Rt△EFC中,FC=a, 在Rt△DFC中,DF=22EF2?ED2?DF210??在△DEF中由余弦定理cos?DEF=

2EF?ED510所求二面角B-PC-D的余弦值为?

5解析2.垂面法 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则?MQN为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解 【解法二】略

解析3.利用三垂线求解 把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。

易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即?EGF为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可

P

解析4.在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC 于E，

BF ⊥PC于F，连接EF即可。

Ｅ

利用平面知识求BF、EF、DE的长度， D A 再利用空间余弦定理求出? 即可

Ｆ B C

解析四

【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有： （1）定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１ （2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２

（3）垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３ 用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：①直接利用定义，图(1).②利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。③作棱的垂面，图(3).

A O

B

M N ? ?

? ? P O (2)

A

P A ?

? B O

(3)

(1) 【模拟演练】 一、选择

1．已知正方体外接球的体积是

324?，那么正方体的棱长为（ ） 3A．23 B．33 C．3 D．3

2．一个几何体的三视图如图所示，已知侧视图是一个等腰三角形, 根据图中尺寸(单位:cm),可知这个几何体的体积是（ ）

45556正视图侧视图6俯视图

3A.60 cm3 B.50 cm3 C.30 cm3 D.303 cm

4．已知、m是不重合的直线，?、?、?是两两不重合的平面，给出下列命题：①若

l??,m??,l?a,m?a,则a??；②若m//l，m??,则l??;③若???，

l??,则l??；④若????m,????l,?//?,则m//l.其中真命题的序号为

A ①②

（ ） B ①③

C ①④

D ②④

5. 在正三棱锥A?BCD中，E,F分别为AB、CD的中点，若EF与BD所成的角为则EF与AC所成的角为（ ） A.

?，6???? B. C. D. 6432

7．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段AC1上，则MP与平面B1CN的位置关系是 （ ） A．垂直

B．平行

C．相交但不垂直 D． 要依P点的位置而定

A1MB1C1PANBC