1???当a>1时，由复合函数的单调性可知，区间3,4]落在0，2a?或??
?1?11
?，＋∞?上，所以4≤或<3，故有a>1；
2aa?a?
?11?1
??当0 且a>4，解得6≤a<4.综上所述，a的取值范围是?6，4?∪(1，＋∞)． ?? 1111 13．－6 解析：原式＝3－2－2＋2＝－6. 14．(1,5] 解析：要使函数f(x)＝lg(x－1)＋5－x有意义，只需满 ??x－1>0，足?即可．解得1 定义域为(1,5]． a??15．－3，－2] 解析：令g(x)＝x＋ax＋a＋5，g(x)在x∈?－∞，－2??? 2 ?a? 是减函数，x∈?－2，＋∞?是增函数．而f(x)＝log3t，t∈(0，＋∞)是增 ?? ?－a≥1， 函数．由复合函数的单调性，得?2 ?g?1?≥0， 解得－3≤a≤－2. 解题技巧：本题主要考查了复合函数的单调性，解决本题的关键是在保证真数g(x)>0的条件下，求出g(x)的单调增区间． 16．①③④ 解析：①∵指数函数的图象为凹函数，∴①正确； ②函数f(x)＝log2(x＋1＋x2)定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝log2(x＋1＋x2)＋log2(－x＋1＋x2)＝log21＝0，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数． 2x＋12 g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且g(x)＝1＋x＝， 2－12x－1 2－x＋11＋2x g(－x)＝－x＝＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．②错误； 2－11－2x ③∵f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(7)＝f(6＋1)＝－f(6－1)＝－f(5)，f(5)＝f(4＋1)＝－f(4－1)＝－f(3)，f(3)＝－f(1)， ∴f(7)＝－f(1)，③正确； ④|logax|＝k(a>0且a≠1)的两根，则logax1＝－logax2，∴logax1＋logax2＝0，∴x1·x2＝1.∴④正确． 17．解：(1)原式＝lg25＋lg 5·lg 2＋2lg 2＋lg 5－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2＋lg 5－2 ＝2(lg 5＋lg 2)－2 ＝0. 10 lg 2 lg 10－lg 21－lg 2lg 5 (2)log125＝lg 12＝＝＝， lg 3×4lg 3＋lg 4lg 3＋2lg 21－lg 21－a lg 2＝a，lg 3＝b，log125＝＝. lg 3＋2lg 2b＋2a 18．解：(1)由3x－3>0解得x>1，所以函数f(x)的定义域为(1，＋∞)． 因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R. x?3－3?xx (2)因为h(x)＝lg(3－3)－lg(3＋3)＝lg?x? ?3＋3? ?6? ＝lg?1－3x＋3?的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上是增函数， ?? 所以函数的值域为(－∞，0)． 所以若不等式h(x)>t无解，则t的取值范围为0，＋∞)． 19．解：(1)因为f(3) 3>0，解得－1 因为m∈Z，所以m＝0或m＝1. 当m＝0时，f(x)＝x3它不是偶函数． 当m＝1时，f(x)＝x2是偶函数． 所以m＝1，f(x)＝x2. (2)由(1)知g(x)＝loga(x2－2x)， 设t＝x2－2x，x∈(2,3]，则t∈(0,3]， 此时g(x)在(2,3]上的值域就是函数y＝logat在t∈(0,3]上的值域． 当a>1时，y＝logat在区间(0,3]上是增函数，所以y∈(－∞，loga3]； 当0 所以当a>1时，函数g(x)的值域为(－∞，loga3]；当0 20．解：(1)因为f(x)是奇函数， －kx－1kx－1∴f(－x)＝－f(x)，即lg＝－lg， －x－1x－1－kx－1x－1 ∴＝，1－k2x2＝1－x2， －x－1kx－1∴k2＝1，k＝±1， 而k＝1不合题意舍去， ∴k＝－1. －x－1由>0，得函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)． x－110k－11 (2)∵f(x)在10，＋∞)上是增函数，∴>0，∴k>10. 10－1 ?k－1?kx－1 ?， 又f(x)＝lg＝lg?k＋ x－1?x－1? 故对任意的x1，x2，当10≤x1 ?k－1??k－1? ? x1－1??x2－1?? ?11?k－1k－1 －??<0， ∴<，∴(k－1)·x1－1x2－1?x1－1x2－1? 11又∵>，∴k－1<0，∴k<1. x1－1x2－1 ?1? 综上可知k∈?10，1?. ? ? 解题技巧：本题主要考查了对数型函数的性质，解决本题的关键是充分利用好奇偶性和单调性． 21．(1)解：由题意得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x都成立， 1＋x1－x1＋x1－x 所以log3＋log3＝0，即·＝1， 1＋mx1－mx1＋mx1－mx所以1－x2＝1－m2x2对定义域中的x都成立， 所以m2＝1，又m≠1，所以m＝－1， 1－x 所以f(x)＝log3. 1＋x 1－x (2)证明：由(1)知，g(x)＝， 1＋x 设x1，x2∈(－1,1)，且x1 因为g(x1)－g(x2)＝>0，所以g(x1)>g(x2)， ?1＋x1??1＋x2?所以函数y＝g(x)在区间(－1,1)上单调递减． (3)解：函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)， 设x1，x2∈(－1,1)，且x1 ??－1 因为f(t＋3)<0＝f(0)，所以? ?t＋3>0，? 解得－3 化简得log4－x＝－2kx， 4＋1 1 即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－2. (2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点， 1 即方程log4(4＋1)－2x＝log4(a·2x＋a)有且只有一个实根， x 1 化简得方程2＋2x＝a·2x＋a有且只有一个实根，且a·2x＋a>0成立， x 则a>0. 令t＝2x>0，则(a－1)t2＋at－1＝0有且只有一个正根． 设g(t)＝(a－1)t2＋at－1，注意到g(0)＝－1<0，所以 ①当a＝1时，有t＝1，符合题意； ②当0 ?t＝－a>0， 2?a－1?? ?Δ＝0， 对称轴 此时有a＝－2＋22或a＝－2－22(舍去)； ③当a>1时，又g(0)＝－1，方程恒有一个正根与一个负根，符合题意． 综上可知，a的取值范围是{－2＋22}∪1，＋∞)．