① 当OA=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交BC于点P1和P4两点，[来源:Zxxk.Com] 则△AOP1、△AOP4均为等腰三角形.

证明：过P1点作P1H⊥OA于点H，则P1H=OC=3， ∵ AP1=OA=5，∴ AH=4，OH=1. ∴P1（1,3）.

∵P1（1,3）在⊙O′的弦CE上，且不与C、E重合，∴ 点P1在⊙O′内.类似可求P4（9,3）. 显然，点P4在点E的右侧，∴点P4在⊙O′外.

② 当OA=OP时，同①可求得，P2（4,3），P3（-4,3）. ③ 显然，点P2在点E的右侧，点P3在点C的左侧

因此，在直线BC上，除了E点外，还存在点P1， P2，P3，P4，它们分别使△AOP为等腰三角形，且点P1在⊙O′内，点P2、P3、P4在⊙O′外.

模块三 有关圆的计算

1【例6】 （1） 如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆的

3一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那 么这个圆锥的高为（ ）

A．6cm B．35cm C．8cm D．53cm

（通州一模）

（2）如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，

则阴影部分面积为（ ）

A．132π平方厘米 B．123π平方厘米 C．25π平方厘米 D．无法计算

（3）已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图

案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成． 则阴影部分的面积是 ．

9

D

?和?AC都是以1为半径的圆弧，则 （4）如图，正方形ABCD的边AB?1，BD无阴影部分的两部分的面积之差是（ ）

ππA.?1 B.1? 24ππC.?1 D.1? 36A

【解析】 （1）B；（2）C，作出两条对角线，用平行线等积变换将面积转成扇形面积； （3）π-2，连对角线，转化为弓形面积； （4）A，面积差=两个扇形面积和-正方形面积.

CB【思维拓展训练】

尖子班

训练1. ⑴如图，直径分别为CD、大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，CE的两个半圆相切于点C，

?、CE?的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z?x?y?的值且AB∥CD，AB?4，设CD为____________.

（孝感市中考）

⑵ 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）

A．13 B．5 C．3 D．2 （台州中考）

QO

FAB

CDNEM Pl

【解析】（1）8?，设大圆半径为R，小圆半径为r，则z?x?y???2R?2r???R??r??2?R2?r2

?? 过点M作MH⊥AB于点H，连结MB，由相切可知MH=NF=r，由勾股可知，R2?r2?4，所

以上式值为8?. （2）B. 当OP最小时，QP最小，由垂线段最短可知OP最小值为3，此时PQ的最小值为5.

训练2. 如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BC边上一动点， 以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值 为1，则AB的长为（ ） A. 22 B.

426 C. 1.5 D. 3 33 （2013西城期末）

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【解析】B. 若弦EF最小，因圆周角∠BAC=45°，则⊙O的直径AD需最小，当AD⊥BC时，连结OE、

OF可求得OE?22，AD=2，于是AB?623

训练3. 已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点M为⊙O上一点，且在弦BC下方. （1）如图①，若∠ABC=60°，BM=1，CM=3，则AM的长为 ； （2）如图②，若∠ABC=45°，BM=1，CM=3，则AM的长为 ； （3）如图③，若∠ABC=30°，BM=1，CM=3，则AM的长为 ；

（4）如图④，若∠ABC=n°，BM?a，CM?b（其中b?a），求出AM的长（答案用含有a，b

及n°的三角函数的代数式表示）. （2013朝阳期末）

AAAABOBCOBOCMOCBMCMM

A【解析】（1）4； （2）22； （3）43 ； 3DBM （4）过点A作AE⊥MC，垂足为E， 过点A作AD⊥BM，垂足为D. AB??AC， ∴∠AMD=∠AMC ∵AB=AC， ∴? ∴MA是∠CMD的角平分线， ∴AD=AE 又∵AB=AC， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC，∴DB=CE 同理可证Rt△ADM≌Rt△AEM OEC1a?b (BM?MC)=22DM 在Rt△ADM中， cos?AMD= AMDMa?b ∴AM= =ocos?AMD2cosn ∴DM=ME=法二：延长MB至点E，使BE=CM，连接AE， 过点A作AD⊥EB于点D. 可证△AEB≌△AMC ∴AE=AM,EB=MC ∴EM=BM+MC=a+b EADBMOC1a?b∴DM=(BM?MC)= 22DMa?b=∴AM= cos?AMD2cosno

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实战演练

模块一 圆的基本性质 课后演练

【演练1】 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，

则折痕AB的长为（ ） A.2cm B.3cm C.23cm D.25cm

（连云港中考）

【解析】C.

【演练2】 ⑴如下左图，点O为优弧ACB所在圆的圆心，?AOC?108?，点

D在AB的延长线上，

BD?BC，则?D?____________.

OAB（河北中考）

?的中点，已知∠AOB=98°⑵ 如下右图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是BC，∠COB=120°．则

∠ABD的度数是 ．

（舟山中考）

CC A O D OABD

B 【解析】（1）27°； （2）101°.

模块二 与圆有关的位置关系 课后演练

【演练3】 （1）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，

∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与 ⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是 ．

（2）如图，⊙O1、⊙O2内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直

线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是（ ） A．4 B．8 C．16 D．8 或16

（茂名中考） 【解析】（1）?2?x?2 且x?0； （2）D，左右平移均可.

O1O2ADFEAB 12

C