（2）已知，如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，MN切⊙O
于C，?BCM?38?，则?ADC的度数为___________．
（3）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、AC分别相切于点D、E， 过劣弧DE（不包括端点D、E）上任意一点P作⊙O的切线MN与AB、 BC分别交于点M、N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ） A.r B.1.5r C.2r D.2.5r
（4）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N 在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切， 则圆心N的坐标为______________．
【解析】（1）（2，-4）过点P作MN的垂线，先求出半径为2.5； （2）128°，连结OC； （3）C，切线长定理；
（4）（21 ，0）或（5，0）.
ABMODCNADMPBNEyOCMONx能力提升
【例4】 1. 如图，在△ABC中，AB?AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在
1AAC的延长线上，且?CBF??CAB． 2⑴ 求证：直线BF是⊙O的切线； D5⑵ 若AB?5，sin?CBF?，求BC和BF的长．（2011北京）
5OEBFC
【解析】⑴ 证明：连结AE.
∵AB是eO的直径，∴?AEB?90?. ∴?1??2?90?.
1 ∵AB?AC， ∴?1??CAB.
21 ∵?CBF??CAB， ∴?1??CBF.
2 ∴?CBF??2?90?.即?ABF?90?.
∵AB是eO的直径， ∴直线BF是eO的切线． ⑵ 解：过点C作CG⊥AB于点G．
55∵sin?CBF?． ，?1??CBF，∴sin?1?55∵?AEB?90?，AB?5，∴BE?AB?sin?1?5. A1OG2BEDCF 5
∵AB?AC，?AEB?90?，∴BC?2BE?25.
22ADCEGF由Rt△ABE中，由勾股定理得AE?AB?BE?25.
255∴sin?2?. ，cos?2?O55在Rt△CBG中，可求得GC?4，GB?2.∴AG?3.
GCAG∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF.∴. ?BBFAB8GC?AB20∴BF?. 所以CD=. ?AG33另：如图，也可以过点C作CG⊥BF，构造“A”字图用相似.
2. 如图AB是eO的直径，PA，PC与eO分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE?PO交PO的延长线于点E. （1）求证：?EPD??EDO；
P3，求OE的长. （2013北京） 4【解析】（1）∵PA、PC与eO分别相切于点A、C
∴?APO??EPD且PA?AO即?PAO?90? ∵?AOP??EOD，?PAO??E?90? ∴?APO??EDO 即?EPD??EDO （2）连结OC，∴PA?PC?6
（2）若PC?6，tan?PDA?∵tan?PDA?∵tan?PDA?CABOED3 ∴在Rt△PAD中AD?8，PD?10∴CD?4 43 ∴在Rt△OCD中，OC?OA?3，OD?5 4∵?EPD??EDO∴△OED∽△DEP PDDE102∴??? ODOE51在Rt△OED中，OE2?DE2?52，∴OE?5 本讲探究主题：圆中的相似
【探究1】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．连
2结AD并延长交BE于点F，若OB?9，sin?ABC?，
3求BF的长．
【解析】过点D作DM?AB于点M，则DM∥FB.
在Rt?ODB中， 2Q?ODB?90o，OB?9， sin?ABC?， 3
?OD?OB?sin?ABC?6.AOBCDEFCDAEFB 由勾股定理得BD?OB?OD?35. 在Rt?DMB中，同理得
OM22 6
DM?BD?sin?ABC?25.BM?BD?DM?5.22
QO是AB的中点， ?AB?18. ?AM?AB?BM?13. QDM∥FB， ?△AMD∽△ABF. ?MDAM?.BFABMD?AB365?BF??.AM13
CDFB
【探究2】 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线
交⊙O于点D，连接BC交AD于点F.若AB?10，AD?8，求CF的长.
【解析】连结BD．
∵AB是⊙O的直径，∴?ADB?90°． ∴ BD?AO AB2?AD2?6.
DFB∵ ?BAD??CAD??CBD，?ADB??BDF． ∴ △DAB∽△DBF.
ADBD869∴ ，即?，得FD?． ?BDFD6FD297∴ AF?AD?FD?8??．
22 可证△FAC∽△FBD
∴
CAOCFAF?. ∴ CF?21 FDBF10CF
【探究3】如图，AB是⊙O的直径， 点C在⊙O上，CE? AB于E,
CD平分?ECB, 交过点B的射线于D, 交AB于F, 且BC=BD.若AE=9, ACE=12, 求BF的长. 【解析】连接AC，
∵ AB是⊙O直径， ∴ ?ACB?90o. ∵CE?AB, 可得 CE2?AE?EB.
CE2∴ EB??16.
AE在Rt△CEB中，∠CEB=90?, 由勾股定理得 BC?CE2?EB2?20. ∴ BD?BC?20.
∵ ?1??D, ∠EFC =∠BFD,
ECEF∴ △EFC∽△BFD. ∴ . ?BDBF∴
AEOBDC12EOFB1216?BF. ∴ BF=10. ?20BFEHDADGOFC B7
【探究4】已知：如图，AF为△ABC的角平分线，以BC为直径的圆与
边AB交于点D,点E为弧BD的中点，联结CE交AB于H，交AF于G，若AC?6，AH?AC，
AB?10，求EC的长．
【解析】连结EB，可得?E?90? ，由AH=AC，AF平分?HAC，可得
EHBH2??，设EH=2x，则 AG?HC，于是△EBH≌△GAH，
HGHA3HG=GC=3x，于是BE2?16?4x2，由△EBH∽△ECB，可知
BE2?EHgEC ，可求得EC?165 . 5
【点评】圆中的相似常见有以下模型：（老师根据自己的教学可以总结出更多更好的！）
【例5】 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，
以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F. （1）求OA，OC的长； （2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形.那么在直线BC上是否存 在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，请 你直接写出点P与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）解：在矩形ABCO中，设OC=x，则OA=x+2，
依题意得，x(x+2)=15。 解得x1?3,x2??5.（不合题意，舍去）
∴ OC=3 ，OA=5 .
（2）证明：连结O′D，在矩形OABC中，
∵ OC=AB，∠OCB=∠ABC，E为BC的中点，
∴△OCE≌△ABE .
∴ EO=EA .∴∠EOA=∠EAO . 又∵O′O= O′D，
∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO.∴ O′D∥EA . ∵ DF⊥AE，∴ DF⊥O′D .
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，∴ DF为⊙O′的切线. （3）答：存在 .
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