而 CP＝BC+BP， ∴BF﹣BP＝BC，

在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，

CE， DE∴CE＝DEtanα，

∴tan∠CDE＝

∴BC＝2CE＝2DEtanα， 即BF﹣BP＝2DEtanα． 【点睛】

本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．

15．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x． （1）求证：四边形AGDH为菱形； （2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式； （3）连结OF，CG．

①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；

②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．

【答案】（1）证明见解析；（2）y＝π；②421． 【解析】 【分析】

1216x（x＞0）；（3）①π或8π或（217+2）83（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；

AEEF?解决问题； ACBC（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；

（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得②只要证明△CFG∽△HFA，可得【详解】

（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，

GFCG=，求出相应的线段即可解决问题； AFAH∴HA＝HD，GA＝GD， ∵AB是直径，AB⊥GH， ∴EG＝EH， ∴DG＝DH， ∴AG＝DG＝DH＝AH， ∴四边形AGDH是菱形． （2）解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠ACB＝90°， ∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴

AEEF?， ACBC1xy， ∴2?4x1∴y＝x2（x＞0）．

8（3）①解：如图1中，连接DF．

∵GH垂直平分线段AD， ∴FA＝FD，

∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°， ∴AB＝

83， 3∴⊙O的面积为

16π． 3如图2中，当AF＝AO时，

∵AB＝AC2?BC2＝16?x2，

216?x∴OA＝， 2?1??1?∵AF＝EF2?AE2＝?x2????， ?8??2?∴

2216?x2?1??1?＝?x2????， 2?8??2?22解得x＝4（负根已经舍弃）， ∴AB＝42， ∴⊙O的面积为8π．

如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝16?4x2，

∵△ACE∽△ABC， ∴AC2＝AE?AB， ∴16＝x?16?4x2，

解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃）， ∴AB2＝16+4x2＝817+8， ∴⊙O的面积＝π?

1?AB2＝（217+2）π 4综上所述，满足条件的⊙O的面积为②如图3中，连接CG．

16π或8π或（217+2）π； 3

∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°， ∴AB＝5， ∴OH＝OA＝∴AE＝

5， 23， 22∴OE＝OA﹣AE＝1，

21?5?∴EG＝EH＝???1＝， 2?2?∵EF＝∴FG＝

129x＝， 881521930﹣，AF＝AE2?EF2＝，AH＝AE2?EH2＝，

8822∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF， ∴△CFG∽△HFA， ∴

GFCG?， AFAH∴

219?28?CG， 153082270330﹣，

105∴CG＝∴

30CG+9＝421．

故答案为421． 【点睛】