（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝

15AB?， 22??BP?， ∵AP∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝2BC，

∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝

BC， ACCEBE1??， AECE2∴AE＝4BE，

∵AE+BE＝AB＝5，

∴

∴AE＝4，BE＝1，CE＝2， ∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5， ∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，

OGOP?， GEEDOE?GEOP2.5??∴， GECE225∴GE＝，OG＝，

36522∴PG＝OP?OG?，

6∴△OPG∽△EDG，∴GD＝DE?GE?∴PD＝PG+GD＝222， 3310． 2

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．

11．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．

（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；

（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．

【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）BE?23. 【解析】 【分析】

（1）①补全图形即可，

②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝32，由直角三角形的性质得出FG＝DG＝2GH＝26，得出DF＝2DG＝43，在Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝23，即可得出结果． 【详解】

解：（1）①补全图形如图1所示， ②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下， 连接BG，如图2所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∵EG⊥AC， ∴∠EGC＝90°，

∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC， ∴∠GEC＝∠GCE＝45°， ∴∠BEG＝∠GCF＝135°， 由平移的性质得：BE＝CF，

?BE?CF?在△BEG和△GCF中，??BEG??GCF，

?EG?CG?∴△BEG≌△GCF（SAS）， ∴BG＝GF，

∵G在正方形ABCD对角线上， ∴BG＝DG， ∴FG＝DG，

∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°， ∴∠CGF+∠AGB＝90°， ∴∠AGD+∠CGF＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴FG⊥DG.

（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．如图3所示, 在Rt△ADG中， ∵∠DAC＝45°， ∴DH＝AH＝32，

在Rt△DHG中，∵∠AGD＝60°， ∴GH＝DH3＝323＝6，

∴DG＝2GH＝26， ∴DF＝2DG＝43， 在Rt△DCF中，CF＝∴BE＝CF＝23．

?43?2?62＝23，

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

12．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5?方向上，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53.5?方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上)，使得M，N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出

P的位置（不写作法）并计算：

（1）M，N两村庄之间的距离；

（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）

【答案】(1) M，N两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是55千米． 【解析】 【分析】

（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．

（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长． 【详解】

解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．

（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5° ∴NE=AN?sin∠NAB=10?sin36.5°=6， AE=AN?cos∠NAB=10?cos36.5°=8， 过M作MC⊥AB于点C，

在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5° ∴AC=MA?sin∠AMB=MA?sin36.5°=3，