∵EG为切线， ∴∠KGE+∠OGA=90°， ∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°， 又∵OA=OG， ∴∠OGA=∠OAG， ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE， ∴KE=GE． ∵sinE=sin∠ACH=

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t， ∵KE=GE，AC∥EF， ∴CK=AC=5t， ∴HK=CK-CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2， 即（3t）2+t2=（2

）2，解得t=

．

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH2+CH2=OC2， 即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r=∵EF为切线，

∴△OGF为直角三角形， 在Rt△OGF中，OG=r=

，tan∠OFG=tan∠CAH=

，

t=

．

∴FG=

【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

6．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3． （1）求tan∠DBC的值；

（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

【答案】（1）tan∠DBC=（2）P（﹣【解析】

，

）．

；

试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4tan∠DBC=

；

，BE=BC﹣DE=

．由此可知

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=

=

试题解析：

（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0， 解得 x1=﹣1，x2=4． ∴A（﹣1，0），B（4，0）． 当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4， ∴D（3，4）．

如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．

．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知

，

）．

，通过解方程求得点P的坐标为（﹣

∵C（0，4）， ∴CD//AB，

∴∠BCD=∠ABC=45°． 在直角△OBC中，∵OC=OB=4， ∴BC=4

．

在直角△CDE中，CD=3． ∴CE=ED=∴BE=BC﹣DE=∴tan∠DBC=

，

． ；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F． ∵∠CBF=∠DBP=45°， ∴∠PBF=∠DBC， ∴tan∠PBF=

．

=

，

设P（x，﹣x2+3x+4），则解得 x1=﹣∴P（﹣

，x2=4（舍去）， ，

）．

考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数

7．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=

2．动点P2在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为 ，直线l的解析式为 ；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； （3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值． 【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4． （2）在点P、Q运动的过程中： ①当0＜t≤1时，如图1，

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5． 过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ?cos∠CBF=5t?∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

3=3t． 511PM?PE=×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t． 22②当1＜t≤2时，如图2，

S=

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．

11PM?PE=×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t． 22③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，

S=