(3)如图3,若k=3,且D、E分别在CB、CA的延长线上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.
【答案】(1)45°;(2)(1)中结论不成立,理由见解析;(3)(2)中结论成立,理由见解析. 【解析】
分析:(1)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△FAE≌△ACD,得出EF=AD=BF,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论; (2)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△FAE∽△ACD,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;
(3)先判断出四边形ADBF是平行四边形,得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△ACD∽△HEA,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;
详解:(1)如图1,过点A作AF∥CB,过点B作BF∥AD相交于F,连接EF,
∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF是平行四边形, ∴BD=AF,BF=AD. ∵AC=BD,CD=AE, ∴AF=AC. ∵∠FAC=∠C=90°, ∴△FAE≌△ACD,
∴EF=AD=BF,∠FEA=∠ADC. ∵∠ADC+∠CAD=90°, ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD. ∵AD∥BF, ∴∠EFB=90°. ∵EF=BF, ∴∠FBE=45°,
∴∠APE=45°.
(2)(1)中结论不成立,理由如下:
如图2,过点A作AF∥CB,过点B作BF∥AD相交于F,连接EF,
∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF是平行四边形, ∴BD=AF,BF=AD. ∵AC=3BD,CD=3AE,
ACCD??3. BDAE∵BD=AF,
∴
ACCD??3. AFAE∵∠FAC=∠C=90°, ∴△FAE∽△ACD,
∴
ACADBF???3,∠FEA=∠ADC. AFEFEF∵∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD. ∵AD∥BF, ∴∠EFB=90°.
∴
在Rt△EFB中,tan∠FBE=∴∠FBE=30°, ∴∠APE=30°,
(3)(2)中结论成立,如图3,作EH∥CD,DH∥BE,EH,DH相交于H,连接AH,
EF3, ?BF3
∴∠APE=∠ADH,∠HEC=∠C=90°,四边形EBDH是平行四边形,
∴BE=DH,EH=BD. ∵AC=3BD,CD=3AE,
ACCD??3. BDAE∵∠HEA=∠C=90°, ∴△ACD∽△HEA,
∴
ADAC??3,∠ADC=∠HAE. AHEH∵∠CAD+∠ADC=90°, ∴∠HAE+∠CAD=90°, ∴∠HAD=90°.
∴
在Rt△DAH中,tan∠ADH=∴∠ADH=30°, ∴∠APE=30°.
点睛:此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.
AH?3, AD
5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G,连接AG交CD于K. (1)求证:KE=GE;
(2)若KG2=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=
,求FG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= 【解析】
试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;
.
(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD?GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;
(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径
定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度. 试题解析:(1)如图1,连接OG.
∵EG为切线, ∴∠KGE+∠OGA=90°, ∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°, 又∵OA=OG, ∴∠OGA=∠OAG, ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE, ∴KE=GE.
(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.
∵KG2=KD?GE,即∴
,
,
又∵∠KGE=∠GKE, ∴△GKD∽△EGK, ∴∠E=∠AGD, 又∵∠C=∠AGD, ∴∠E=∠C, ∴AC∥EF;
(3)连接OG,OC,如图3所示,