2014-2015学年河南省三门峡市陕州中学高二(下)适应性考试数学试卷(文科) 下载本文

解答: 解:依题意,设f(x)=x,则有()=所以α=,于是f(x)=x.

αα

,即()=(),

α

由于函数f(x)=x在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当x1<x2时,必有f(x1)<f(x2), 从而有x1f(x1)<x2f(x2),故②正确; 又因为

,分别表示直线OP、OQ的斜率,结合函数

图象,容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率,故>,所以③正

确.

答案②③ 点评: 本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定.

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(Ⅰ)已知曲线C:y=xe+tanα在 x=a的值;

(Ⅱ)已知点P在曲线y=

上,角α为曲线在点P处的切线的倾斜角,求α的取值范

x

处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直,求实数

围.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆.

分析: (Ⅰ)欲求出实数a,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.再由两直线垂直的条件,从而可得a; (Ⅱ)利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率,再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围.

xx

解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=e+xe, ∵曲线在x=

处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直,

∴根据导数几何意义得:f′()=(1+)?=﹣

解得:a=﹣;

(Ⅱ)解:因为y=的导数为

y′=

xx

﹣x

=,

∵e+e≥2∴e+e+2≥4, ∴y′∈[﹣1,0) 即tanα∈[﹣1,0), ∵0≤α<π ∴

≤α<π.

﹣x

=2,

即α的取值范围是[,π).

点评: 本题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线

方程等基础知识.属于基础题.

18.已知函数f(x)=ax+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16. (Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)若f(x)有极大值28,求f(x)在[﹣3,3]上的最小值.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件. 专题: 综合题;探究型;方程思想;转化思想.

32

分析: (Ⅰ)由题设f(x)=ax+bx+c,可得f′(x)=3ax+b,又函数在点x=2处取得极值c﹣16,可得

解此方程组即可得出a,b的值;

3

(II)结合(I)判断出f(x)有极大值,利用f(x)有极大值28建立方程求出参数c的值,进而可求出函数f(x)在[﹣3,3]上的极小值与两个端点的函数值,比较这此值得出f(x)在[﹣3,3]上的最小值即可.

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解答: 解:(Ⅰ)由题f(x)=ax+bx+c,可得f′(x)=3ax+b,又函数在点x=2处取得极值c﹣16 ∴

解得a=1,b=﹣12

(II)由(I)知f(x)=x﹣12x+c,f′(x)=3x﹣12=3(x+2)(x﹣2)

2

令f′(x)=3x﹣12=3(x+2)(x﹣2)=0,解得x1=﹣2,x2=2

当x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0,故f(x)在∈(﹣∞,﹣2)上为增函数;当x∈(﹣2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(﹣2,2)上为减函数;

当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数;

由此可知f(x)在x1=﹣2处取得极大值f(﹣2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c﹣16,

由题设条件知16+c=28得,c=12

此时f(﹣3)=9+c=21,f(3)=﹣9+c=3,f(2)=﹣16+c=﹣4

3

2

,即,化简得

因此f(x)在[﹣3,3]上的最小值f(2)=﹣4 点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值,解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c﹣16”,将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c﹣16两个等量关系,第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值.本题考查了转化的思想及方程的思想,计算量大,有一定难度,易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败,做题时要严谨认真,严防出现在失误.此类题是高考的常考题,平时学习时要足够重视.

19.已知函数f(x)=lnx﹣ax﹣2x(a<0)

(1)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;

(2)若a=﹣且关于x的方程f(x)=﹣x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.

考点: 函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题.

分析: (1)对函数f(x)进行求导,令导数大于等于0在x>0上恒成立即可.

(2)将a的值代入整理成方程的形式,然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题. 解答: 解:(1)f'(x)=﹣

(x>0)

2

2

依题意f'(x)≥0 在x>0时恒成立,即ax+2x﹣1≤0在x>0恒成立. 则a≤

=在x>0恒成立,

即a≤[当x=1时,

﹣1]min x>0

﹣1取最小值﹣1

∴a的取值范围是(﹣∝,﹣1] (2)a=﹣,f(x)=﹣x+b∴设g(x)=

X (0,1) 1 g′(x) + 0 g(x) ↑ 极大值

则g'(x)=

(1,2) 2

﹣ 0 ↓ 极小值

(2,4)

+ ↑

列表:

∴g(x)极小值=g(2)=ln2﹣b﹣2,g(x)极大值=g(1)=﹣b﹣, 又g(4)=2ln2﹣b﹣2

∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

则 ,得ln2﹣2<b≤﹣.

点评: 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.

20.已知函数

(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当

时,讨论f(x)的单调性;

2

(3)设g(x)=x﹣2x+n.当

时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)

≥g(x2),求实数n的取值范围.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题.

分析: (1)欲求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程只需求出切线斜率k=f′(1),从而求出所求;

(2)先求导函数,然后讨论m的范围,得到导函数的符号,得到函数的单调性;

(3)根据(2)求出对任意x1∈(0,2),f(x1)≥f(1)=,然后根据题意可知存在x2∈[1,2]使g(x)=x﹣2x+n≤,解之即可.

解答: 解:(1)当m=2时,f(x)=lnx﹣2x﹣(x∈(0,+∞)) 因此f(1)=﹣3,f′(x)=﹣2+所以切线方程为y=﹣3 (2)f′(x)=﹣m+

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,切线斜率k=f′(1)=0

=

令h(x)=﹣mx+x+m﹣1(x∈(0,+∞))

当m=0时,h(x)=x﹣1,令h(x)>0,x>1,h(x)<0,0<x<1 ∴f(x)在(0,1)上是减函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数 当m≠0时,h(x)=﹣m(x﹣1)[x﹣(﹣1)],

当m<0时,﹣1<0<1,f(x)在(0,1)上是减函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数 0<m≤时,0<1<﹣1,f(x)在(0,1),(﹣1,+∞)上是减函数,f(x)在(1,﹣1)上是增函数