解答： 解：依题意，设f（x）=x，则有（）=所以α=，于是f（x）=x．

αα

，即（）=（），

α

由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2）， 从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确； 又因为

，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数

图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正

确．

答案②③ 点评： 本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（Ⅰ）已知曲线C：y=xe+tanα在 x=a的值；

（Ⅱ）已知点P在曲线y=

上，角α为曲线在点P处的切线的倾斜角，求α的取值范

x

处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，求实数

围．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用；直线与圆．

分析： （Ⅰ）欲求出实数a，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再由两直线垂直的条件，从而可得a； （Ⅱ）利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

xx

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e+xe， ∵曲线在x=

处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，

∴根据导数几何意义得：f′（）=（1+）?=﹣

解得：a=﹣；

（Ⅱ）解：因为y=的导数为

y′=

xx

﹣x

=，

∵e+e≥2∴e+e+2≥4， ∴y′∈[﹣1，0） 即tanα∈[﹣1，0）， ∵0≤α＜π ∴

≤α＜π．

﹣x

=2，

即α的取值范围是[，π）．

点评： 本题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线

方程等基础知识．属于基础题．

18．已知函数f（x）=ax+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16． （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件． 专题： 综合题；探究型；方程思想；转化思想．

32

分析： （Ⅰ）由题设f（x）=ax+bx+c，可得f′（x）=3ax+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16，可得

解此方程组即可得出a，b的值；

3

（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可．

32

解答： 解：（Ⅰ）由题f（x）=ax+bx+c，可得f′（x）=3ax+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16 ∴

解得a=1，b=﹣12

（II）由（I）知f（x）=x﹣12x+c，f′（x）=3x﹣12=3（x+2）（x﹣2）

2

令f′（x）=3x﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2

当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；

当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；

由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c﹣16，

由题设条件知16+c=28得，c=12

此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4

3

2

，即，化简得

因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4 点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c﹣16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c﹣16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．

19．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣2x（a＜0）

（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；

（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题．

分析： （1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．

（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题． 解答： 解：（1）f'（x）=﹣

（x＞0）

2

2

依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax+2x﹣1≤0在x＞0恒成立． 则a≤

=在x＞0恒成立，

即a≤[当x=1时，

﹣1]min x＞0

﹣1取最小值﹣1

∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1] （2）a=﹣，f（x）=﹣x+b∴设g（x）=

X （0，1） 1 g′（x） + 0 g（x） ↑ 极大值

则g'（x）=

（1，2） 2

﹣ 0 ↓ 极小值

（2，4）

+ ↑

列表：

∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣， 又g（4）=2ln2﹣b﹣2

∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．

则 ，得ln2﹣2＜b≤﹣．

点评： 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

20．已知函数

（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当

时，讨论f（x）的单调性；

2

（3）设g（x）=x﹣2x+n．当

时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）

≥g（x2），求实数n的取值范围．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题．

分析： （1）欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程只需求出切线斜率k=f′（1），从而求出所求；

（2）先求导函数，然后讨论m的范围，得到导函数的符号，得到函数的单调性；

（3）根据（2）求出对任意x1∈（0，2），f（x1）≥f（1）=，然后根据题意可知存在x2∈[1，2]使g（x）=x﹣2x+n≤，解之即可．

解答： 解：（1）当m=2时，f（x）=lnx﹣2x﹣（x∈（0，+∞）） 因此f（1）=﹣3，f′（x）=﹣2+所以切线方程为y=﹣3 （2）f′（x）=﹣m+

22

，切线斜率k=f′（1）=0

=

令h（x）=﹣mx+x+m﹣1（x∈（0，+∞））

当m=0时，h（x）=x﹣1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1 ∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数 当m≠0时，h（x）=﹣m（x﹣1）[x﹣（﹣1）]，

当m＜0时，﹣1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数 0＜m≤时，0＜1＜﹣1，f（x）在（0，1），（﹣1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，﹣1）上是增函数