投入100000个点，落入阴影部分的个数约为100000×0.9547＝95470.

正态分布下两类常见的概率计算

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.

(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.

1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，

21

22

则有( )

A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 答案 A

B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2

解析 μ反映正态分布的平均水平，x＝μ是正态曲线的对称轴，由图知μ1<μ2，σ反映正态分布的离散程度，σ越大，曲线越“矮胖”，表明越分散，σ越小，曲线越“高瘦”，表明越集中，由图知σ1<σ2.

2．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；

(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解 (1)由ξ～N(100,100)，知μ＝100，σ＝10. ∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.9544， 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.9544. (2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)＝0.6826， 1

∴P(ξ>110)＝×(1－0.6826)＝0.1587，

2∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413. ∴估计及格人数约为2000×0.8413≈1683.

高频考点 均值、方差的计算和实际应用

考点分析 离散型随机变量的均值、方差是高考大题的必考题型之一．通常以实际问题为背景，综合考查概率计算、求分布列，计算均值、方差还应特别注意与函数知识的综合问题．

[典例] (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？

解 (1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝0.2，

2＋16

＝90

P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝25＋7＋4

＝0.4. 90

3690

因此X的分布列为

X P 200≤n≤500.

当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 当200≤n＜300时，

若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，

200 0.2 300 0.4 500 0.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑

因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．