(1)现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的
A，B地区的人数各是多少；
(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；
(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望．
P(K2≥k0) k0 附：参考公式：K＝
2
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 . a＋bxnad－bc2c＋da＋cb＋d解 (1)由题意，得＝0.35，所以x＝35，所以y＋z＝35，因为4y＝3z，所以y＝15，
100
z＝20，A地抽取15×
(2)
2020
＝3，B地抽取20×＝4. 100100
A B 合计 －65×35×45×55
2非常满意 30 35 65 ＝满意 15 20 35 合计 45 55 100 K＝
2
100≈0.1＜3.841， 1001
所以没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
2
(3)从A地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为P＝，随机抽取3人，
3
X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝??3＝，
3
2
P(X＝1)＝C1＝， 3????＝?3??3?2792
P(X＝2)＝C2＝， 3????＝
?3??3?279
?1???
127
?2??1?
62
?2??1?124
827
P(X＝3)＝??3＝，
3
X P 0 1 271 2 92 4 93 8 27?2???
2?2?因为X～B?3，?，所以E(X)＝3×＝2. 3?3?角度3 非二项分布的均值、方差问题
3．某省级示范性高中高三年级实验班和普通班在一个学期共同进行了四次大型考试，从年级的角度，对数学试卷中每道题的区分度作如下规定：区分度q1＝实验班的得分率－普
通班的得分率，当q1<0.3时，认为该题区分度不好．从班级的角度，若在某实验班进行抽样调查，研究第12题的区分度，从班级数学成绩前8名的同学中随机抽取2人，后8名的同学中随机抽取2人，并且以抽取的4人的答题结果为依据计算区分度，区分度q2＝前8名同学中抽取的2名同学答题的正确率－后8名同学中抽取的2名同学答题的正确率，当
q2<0.3时，认为该题区分度不好．
(1)对于第16题，从年级的角度，按以往经验，若区分度不好的概率为p，四次考试至少有一次区分度不好的概率为0.9375，求p的值；
(2)已知实验班数学成绩的前8名同学中有7人答对第12题，后8名同学中有4人答对第12题．
①根据抽样结果，求认为该题区分度不好的概率；
②在抽取的4人中，ξ为答对第12题的人数，写出ξ的分布列，并求E(ξ)． 解 (1)1－(1－p)＝0.9375?p＝0.5.
(2)①“认为该题区分度不好”可分为以下几个互斥事件：
从前8名同学中抽到的2人中有1人未答对，且从后8名同学中抽到的2人中至多有
1
C7?C4?11
1人未答对，所求概率为2·?1－2?＝；
C8?C8?56
2
4
从前8名同学中抽到的2人全答对，且从后8名同学中抽到的2人全答对，所求概率C7C49为2·2＝. C8C856
1195
故“认为该题区分度不好”的概率为＋＝. 565614②由题意知，ξ＝1,2,3,4， C7C43
P(ξ＝1)＝2·2＝，
C8C856
C7C4C7C4C417
P(ξ＝2)＝2·2＋2·2＝，
C8C8C8C856C7C4C7C4C427
P(ξ＝3)＝2·2＋2·2＝，
C8C8C8C856C7C49
P(ξ＝4)＝2·2＝，
C8C856所以ξ的分布列为
ξ 1 3 562756
2 17 56911564
3 27 564 9 562
2
1
2
2
11
2
2
1
11
1
2
2
2
P 356
1756
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
(1)求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 ①理解X的意义，写出X的全部可能取值．
②求X取每个值的概率． ③写出X的分布列． ④由均值的定义求E(X)． ⑤由方差的定义求D(X)．
(2)注意性质的应用：若随机变量X的均值为E(X)，则对应随机变量aX＋b的均值是aE(X)＋b，方差为aD(X)．
(3)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．见举例说明2.
2
1．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )
7???1??7??1?A.?0，? B.?0，? C.?，1? D.?，1? ?12??2??12??2?答案 B
解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p，发球二次的概率P(X＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)＝p2
2
2
512
－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义，
221?1?可得0 2?2? 2．(2018·贵阳模拟)某高校学生社团为了解“大数据时代”下毕业生对就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷计分调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图： (1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度； (2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求被抽到的女生人数X的分布列和数学期望． 解 (1)男生打分的平均分为 1 ×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69. 10 由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散． (2)∵打分在80分以上的毕业生有3女2男， ∴X的可能取值为1,2,3， C3C23 P(X＝1)＝3＝， C510C3C23 P(X＝2)＝3＝， C55C3C21 P(X＝3)＝3＝， C510∴X的分布列为 302112 X P 1 3 102 3 53 1 10E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 3．某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，(95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示． 3103519105 (1)求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率； (2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求X的分布列和数学期望E(X)和方差D(X)． 解 (1)依题意，培训时间在[90,95)小时的人数为200×0.06×5＝60, 60＋202在[95,100)小时的人数为200×0.02×5＝20，故满足题意的概率估计为P＝＝. 2005(2)依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3， 3 P(X＝0)＝C03??＝5 ?3??? 27， 125 54 2 P(X＝1)＝C1， 3????＝ ?5??5?125 ?2??3?