第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布
[考纲解读] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，并能根据分布列正确求出期望与方差，并能解决一些实际问题．(重点、难点) 2.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，掌握正态曲线的相关性质，并能进行正确求解． [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点题型. 预计2020年将会考查：①与分布列相结合求期望与方差，通过设置密切贴近现实生活的情景，考查概率思想的应用意识和创新意识；②正态分布的考查，尤其是正态总体在某一区间内的概率. 题型为解答题中的一问，试题难度不会太大，属中档题型.
1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 01x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望， (1)均值：称E(X)＝□02平均水平． 它反映了离散型随机变量取值的□n(2)D(X)＝? (xi－E(X))pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)
2
i＝1
03平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差． 的□2．均值与方差的性质 01aE(X)＋b； (1)E(aX＋b)＝□02a2D(X)(a，b为常数)． (2)D(aX＋b)＝□3．两点分布与二项分布的均值、方差
4．正态曲线
(1)正态曲线的定义
12π·σ
－e
x－μ
2σ
2
2
函数φ
μ，σ
(x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)
为参数，称φ
μ，σ
(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，
σ是正态分布的标准差)．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 01x＝μ对称； ②曲线是单峰的，关于直线□02x＝μ处达到峰值③曲线在□1σ
2π；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； 03σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，□04σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 布越集中；□5．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a (x)dx(即x＝a，x ?aμ，σ ＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ)． (2)正态分布的三个常用数据 010.6826； ①P(μ－σ 1．概念辨析 (1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数．( ) (2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．小题热身 (1)已知随机变量X的分布列为 2 X P 则E(X)与D(X)的值分别为( ) －2 1 30 1 32 1 388 A．0,2 B．0， C．2,0 D.，0 33答案 B 1111122 解析 E(X)＝(－2)×＋0×＋2×＝0，D(X)＝(－2－0)×＋(0－0)×＋(2－ 33333182 0)×＝. 33 (2)设ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝15，D(ξ)＝11.25，则n＝( ) A．45 B．50 C．55 D．60 答案 D 解析 由? ?E???Dξξ ＝np＝15，＝np－p＝11.25， 解得? ?p＝0.25，???n＝60. A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 1111 解析 先求出E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 2363再由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3. 7?1? ∴＝a?－?＋3.解得a＝2. 3?3? (4)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________. 4答案 3 解析 因为μ＝3，所以正态曲线关于直线x＝3对称， 于是 c－ ＋2 c＋ 4 ＝3，解得c＝. 3 题型 一 离散型随机变量的均值、方差 角度1 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X P 43 A. B. C．2 D．3 32答案 C 6 3 2 a b c 其中a，b，c成等差数列，且E(X)＝3，则D(X)＝( ) ? 解析 由题意，得?a＋c＝2b， ??6a＋3b＋2c＝3， ?a＋b＋c＝1， ??1 解得?b＝，31?c＝?2.a＝，16 所以D(X)＝(6－ 11131222 3)×＋(3－3)×＋(2－3)×＝＋＝2. 63222 角度2 二项分布的均值、方差问题 2．由中央电视台综合频道(CCTV－1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A， B两个地区的100名观众，得到如下的2×2列联表： 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35，且4y＝3z.