??33?23?? A3?A2?A??0?33?2??00?3???

??44?36?2? A4?A3?A??0?44?3??00?4?????55?410?3? A5?A4?A??0?55?4??00?5???

??kk?k?1k(k?1)?k?2?2k A??0?kk?k?1?00k?? 用数学归纳法证明 当k2时

??? ?? 显然成立

假设k时成立，则k1时，

??kk?k?1k(k?1)?k?2?????10?2 Ak?1?Ak?A??0?kk?k?1??0?1?

?00??00???k????????k?1(k?1)?k?1(k?1)k?k?1???2?k?1(k?1)?k?1? ??0??k?100?????

由数学归纳法原理知

??kk?k?1k(k?1)?k?2???2 Ak??0?kk?k?1??00??k????

9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵

TT 证明 因为A (BAB)

TTTA 所以

BT(BTA)TBTATBBTAB

从而BAB是对称矩阵 10

设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的

充分必要条件是AB 证明 充分性 (AB)

TBA

因为ATTA BTB 且ABBA 所以

(BA)

ATBTAB

即AB是对称矩阵 必要性 AB 11

因为A(AB)

TTA BTB 且(AB)TAB 所以

BTATBA

求下列矩阵的逆矩阵

1 (1)??2?2?5??

1 解 A???2?2?5?? |A|1 故A存在

1

因为

A11A21??5?2? A*???AA????21???1222??5?2故 A?1?1A*????21??|A|??cos??sin? (2)??sin?cos?????

cos??sin? 解 A???sin?cos????? |A|10

故A存在

1

因为

A11A21??cos?sin?? A*???AA????sin?cos????1222??cos?sin?所以 A?1?1A*????sin?cos???|A|???12?1? (3)?34?2??5?41???

?12?1? 解 A??34?2??5?41??? |A|20 故A存在

1

因为

?A11A21A31???420? A*??A12A22A32????136?1?????3214?2?AAA??132333??

??210??13?11?1所以 A?A*???3??|A|22???167?1??

?a1a?0??2 (4)??(a1a2

??0?a?n??a1?0?a?2 解 A?????0an????1??a1?0?1a??12? A????1?0????a?n?an 0)

由对角矩阵的性质知

12 解下列矩阵方程

2 (1)??1?5?X??4?6??21?3?????12 解 X???1?5??4?6???3?5??4?6???2?23??21???12??21??08?3???????????21?1?1?13 (2)X?210????432???1?11?????