?1?0故逆矩阵为??1?2?1?2?4?10?1??136?1?6?10??

?41?2??1?3? 4 (1)设A???221? B??使AX?31?1???23?2?1? 求X?? 解 因为

(A, B)???4?221?21 21?32??~r ??10010102?

?31?13?1????0001 ?1512?3?4??所以 X?A?1B???102???15?3?

?124?? (2)设A???021?? B?????23?31?3?4???21?2331??? 求X使XA 解 考虑ATXTBT 因为

(AT, BT)???0?2?21?3321?23??~r ??010100?21?4?

?13?431?7????001?14??所以 XT?(AT)?1BT???2?4???17??14

???从而 X?BA?1???2?1?1???474??

B

B

?1?10? 5 设A??01?1???101??? 解 原方程化为(A AX 2XA 求X

2E)X A 因为

??1?101?10? (A?2E, A)??0?1?101?1?

??10?1?101????10001?1? ~?010?101?

?0011?10????01?1?所以 X?(A?2E)?1A???101??1?10???

1阶子式? 有

6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中

可能存在等于0的r1阶子式

3

也可能存在等于0的r阶子式 例如

?1000? A??0100??0010??? R(A)

00是等于0的2阶子式

00000 100是等于0的3阶子式 010 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样?

解 R(A)R(B)

故A的秩不会

这是因为B的非零子式必是A的非零子式小于B的秩

8 求作一个秩是4的方阵

(1

0

1

0 0) (1

它的两个行向量是 1 0

0

0)

解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵

?1?1?1?0?0?0?100000100000100?0?0?0?0??

此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量

9 求下列矩阵的秩

并求一个最高阶非零子式

?3102? (1)?1?12?1?;

?13?44????3102? 解 ?1?12?1?(下一步

?13?44??? r1r2 )

~???31?1120?21??(下一步

r23r1 r3r1 )

?13?44?? ~??1?12?1??04?65?(下一步

r3r2 )

?04?65?? ~???01?41?26?51?

0000??矩阵的秩为2 31?11??4是一个最高阶非零子式

(2)??32?1??2?1331??31??

?705?1?8?? 解 ??32?1?3?2??2?131?3?(下一步

r1r2 r22r1 r37r1?705?1?8?? ~??13?4?41?0 r33r2 )

0??2173311279??155???(下一步 ~???01?73?114?41

00090?5?0??矩阵的秩是2 322?1??7是一个最高阶非零子式

)