一数学对象的不同表达形式以及不同表达形式之间的联系，进而认识该数学对象的本质特征，反映了对数学概念本质属性把握的深刻程度，也直接影响分析和解决问题的能力。（98）

（关于椭圆的定义、直线之间的垂直关系的例子见书本P99）

同一数学对象的不同表达形式正是变更非本质特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，从不同侧面突出了数学对象的本质特征，突出了那些隐藏的本质要素。如果在概念学习中，注意从不同角度对对象的不同表现形式进行一系列的加工处理，形成以相关属性为纽带的网络结构，那么，在不同的情境中就可以根据问题的形式和内容，提取出相应的针对性的处理策略，就能真正把握数学对象的本质。

6.2掌握数学概念教学的特点

数学教学主要是数学概念、定理、公式的教学，其中概念教学是数学教学的核心。

数学概念的教学是数学教学的最重要基本功之一。（100） 掌握概念就是掌握同类事物的本质属性。

讲授一个数学概念时，首先弄清楚它需要怎样的基础，其次学习了这个概念以后又为谁服务。

6.2.2注重概念的引入

概念教学首先要让学生感到有必要学习这个概念，这就是要重视概念的引入。（但这种概念的引入并非是轻而易举的，常常要费一番周折。）要注意从需要与类比两方面引入。（101）

6.2.3注重概念的形成

按数学学习理论，掌握数学概念是指对数学概念理解要达到概念学习的水平，也就是理解一类事物的本质属性，即认识到符号代表的是一类事物而不是具体、个别、特殊的事物。

为达到数学概念学习的要求，教学中要尽可能采用适当的方法促进学生用概念形成方式学习概念。（101）

即从大量而具体实例出发，用辨别（比较、分析、综合）、分化、抽象、提出假设、反驳与验证，以及概括等一系列思维动作，来达到对概念的理解，从而用适当的语言符号去代替概念的内容。达到看见概念的符号就能立即与概念的实质联系起来。（101）

导致学生思维结果的思维方法是数学学习的方法，也是数学研

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究的方法，同时还是数学教学的方法，应该把观察与实验、比较与类比、分析与综合、抽象与具体化、概括与特殊化，猜想与反驳这些思维活动的方法贯穿于教学之中。（101）

6.2.4注重概念的意义

数学中，一切概念的意义是第一的，而且数学概念的意义是确定而无歧义的。这必然要求在教学中，特别强调是学生获得明晰的概念意义。（为什么要特别强调是学生获得明晰的概念意义？）

数学概念的明晰要从内涵与外延两个方面考虑。（101）

1.明确概念的内涵（数学概念意义的描述有自身的特点，首先它总是在已有概念的基础上，经由弱抽象形成，或者经由强抽象形成，或者经由理想抽象形成，其间所涉及对象的相互关系都是纯粹数学意义上的；其次，数学的概念总是用数学自身的语言描述，数学的语言不仅符号化，而且精确简练，往往一字不多一字不少。数学概念的这种表述特点也导致了对其理解的困难，这要求教师引导和帮助学生建构概念意义的时候，力求使学生对概念的本质特征，即概念的内涵概括准确。）（101）

明确概念的内涵就是要，第一，明确包含在定义中关键词语的意义。第二，对概念中的有些词语作必要的概括。（102） 2.明确概念的外延

概念的内涵决定了概念的外延，但是对概念外延的清晰将有利于辨析内涵与外延的关系，防止概念的非本质泛化，促进对概念内涵的理解和把握。（102）

明确概念的外延。第一，概念的例子和概念属性的例子。教学中使学生了解概念外延的通常方法，是举出符合概念意义的例子。（对中学生来说，教师不仅要指出符合概念的例子，而且要学生自己也能举出例子来，特别是要举出概念属性的例子来，而不单是举出概念的例子。）

能举出概念属性的例子，说明不但明确了概念的外延，而且说明能用概念的本质属性去检验例子，这是达到了概念学习的水平。（102）

例如：以正方形作为矩形的例子，在于能说明正方形确实有一个角是直角的平行四边形；以正方形为菱形的例子时，在于能说明正方形确实是邻边相等的平行四边形。

第二，构建概念体系，数学学习的一项重要工作，是要把所获得的概念及时地纳入到概念体系中去，从而明确概念与其他概念之间的关系。

例如：讲到分式时。应总结出概念的关系表，然后再一次比较

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各个概念间的异同和关系（见书103）

注重概念的符号：用符号表示概念，是数学的特点，也是数学的优点，这使得数学思想材料形式化。概念本身就是抽象的，而符号又成为概念的外在形式和代表，从这个意义上讲符号更抽象。因此概念教学中，要防止两个脱节：一是概念与实际对象脱节；二是概念与符号脱节。

从函数概念与函数符号看（103）：

函数概念是中学数学的核心概念，函数的思想贯穿整个中学数学的内容，同时函数概念也是中学数学中最难理解和把握的，因而函数概念的地位在中学数学里的重要性就不言而喻。

一旦符号化，概念的定义就隐藏在背后，很容易犯滥用符号的错误。需要指出，数学中的符号是由一定条件的。忽视附加条件，使学生产生错误的主要原因，纠正这类错误，不能仅仅就错论错，而是要用定义来检验，达到对错误根源的认识。

从几何概念看（104）：在几何中，除注意概念的符号外，还要注意概念的图形，主要是排除标准图形对正确掌握概念的影响。

从数学符号的意义看：数学中，符号的意义是发展的，变化的。 数学概念教学的基本方式：数学概念教学的两种基本方式——概念形成的方式和概念同化的方式。

数学概念获得的方式（104）：数学概念获得的过程实质上是理解和掌握某一类数学对象共同的关键属性的过程，其基本方式是概念的形成和概念的同化。 概念形成（105）：概念的形成一般是针对由弱抽象形成的概念。概念形成这一过程主要涉及以下相关因素。 第一，感知、辨别各种刺激模式。

第二，抽象出各个刺激模式的共同属性，并提出假设。 第三，在特定的情境中修正、检验假设，形成概念。 第四，把新概念一般化，并用数学的语言符号表达。

概念同化（106）：概念的同化一般是针对由强抽象形成的概念的方式就叫做概念同化。

从概念同化的学习过程可以看出，当新概念展现出来后，学生并不是消极被动的接受它们，而是利用已有的知识作为“固着点”，积极主动地对新概念进行意义建构。

总的来看，概念同化主要是从抽象定义出发，以演绎的思维方式理解和掌握概念；而概念形成则主要是从大量的实例和学习者的实际经验出发，以归纳的思维方式获得概念。（106）

概念形成的学习方式需要学生对具体的、直接的感性材料进行观察、感知、操作等活动，比较耗费时间、学习效率难以保障；而概念同化的学习方式则容易使学生对一些本来就抽象、晦涩难懂的

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数学概念流于浅层次的表面理解，需要借助一些直观、感性的材料帮助学生把握概念背后的丰富内容。

6.3.2概念形成教学方式

运用概念形成教学方式的数学教学中应处理好以下几个环节（107）。

1.设计适于概念形成的学习情境； 2.留给学生自主活动的空间； 3.发挥教师语言的中介作用。

概念形成的学习情境的具体的设计应从两个方面来考虑：一方面要充分了解学生的认知水平和心理发展特点。（注意选择那些刺激强度适当、新颖有趣的实例或活动作为刺激模式，激发学生主动观察、操作、归纳，展开积极的思考、探究活动）；另一方面要深入钻研教材（对概念的背景知识、形成过程和基本特征细致把握，基于此提供的概念形成的学习情境才能真正吸引学生，获得良好的效果。）（107）（例题见数本107）

留给学生自主活动的空间，是因为概念形成的过程需要学生自己探索，教学中应当给学生充分的自主活动的空间，使学生有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的背景、条件，感悟概念的本质特征。（防止出现一味追求教学进度和容量或担心学生探索无效，而是学生的自主活动流于形式。）（107）（例子见教材107） 发挥教师语言的中介作用

在学生形成概念的过程中，教师的语言发挥重要的作用。这一作用主要体现在两个方面：其一，在学生遇到障碍时，教师的提示和引导语能够指引探索活动的方向，使学生有的放矢地归纳、概括概念的本质属性；其二，学生通过观察、实验、归纳、猜想等活动所形成的概念往往比较粗糙、不规范甚至肤浅的，需要进一步地精炼、升华，形成科学化的数学概念，这就要教师语言的启示和示范作用，使学生意识到修正概念的必要性和如何用精确的语言概括自己的研究成果。（107）

6.3.3概念同化教学方式（108）

根据概念同化学习特点，运用“概念同化教学方式”的数学教学中应处理好以下几个环节：1.突出概念的关键特征（以概念同化的方式学习概念，需要先向学生呈现概念的定义。）；2.呈现正例与反例（呈现正例与反例让学生辨认和识别。）；3.在应用中强化对概念的理解（为了强化学生对概念的本质理解，需要提供一些在实际中应用概念的机会。）。

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