第五章 数学教学理论及运用
数学教学理论是数学教学实践经验的概括与总结，是人们对数学教学现象及其规律的一种系统化的理性认识，是数学学科教学的感性经验上升为理性认识后的一种表现形态。
数学教学理论主要研究数学教学情境中教师引导、维持或促进学生学习的行为，从而提供一般性的规定或处方，以指导数学课堂的实践活动。（65）（填空题、简答题）
要构建科学的数学教学理论并合理地运用，就需要回答什么是数学教学，数学教学要遵循哪些原则，如何有效地开展数学教学，如何评价数学教学的效果等等基本问题。（65）
5.1数学教学及其过程
数学教学必须立足于“教与数学对应”的基本原理，突出数学活动的自身特征。
数学教学是数学活动的教学，数学教学过程是数学活动的教学过程。（65）
数学教学的认识：（1）数学教学是数学活动的教学；（2）教学中的数学活动是逐步深入的分层次活动；（3）数学活动发生具有逻辑必要条件；（4）数学教学具有自身的基本特点。（65）
数学教学是数学活动的教学。（简答题）（65）（因为数学活动在大多数情况下是抽象的形式化的思想活动，因而将数学教学界定为数学活动的教学，是对数学教学本质的准确把握。数学教学中的数学活动既有外部的具体行为操作，又有内部的抽象思维动作，是学生由外及里的活动，并且以内部的积极思维活动为主要形式。）
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教学中数学活动是逐步深入的分层次活动。（66）（这种层次性依次体现在下述几个方面。第一，借助于观察、试验、归纳、类比、概括等活动积累事实材料（数学化的过程）；第二，由积累的材料抽象出原始概念和公式体系，并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论（数学的再发现过程）；第三，应用理论（实践活动或更高级的抽象活动））
数学活动的三个层次具有内在联系性。（66）（前一层次是后一层次的基础，后一层次是前一层次的发展，呈现出螺旋递进的特征。数学活动的层次性也是个体数学活动经验水平的一种标志，即数学活动的各个层次都有其相应的数学活动经验水平。上述三个层次就明显地呈现由感性到理性、由低级到高级的数学活动经验水平。）
将数学活动分成几个层次具有明显的优越性，（简答题）将抽象的数学活动具体化，突出了数学活动的过程性，使得数学教学中的数学活动具有明显的可操作性。（66）
如果从数学学习的建构主义理论出发，分层次认识数学活动则有助于设计数学建构学习。（66）（因为由简单到复杂的分层次数学活动恰恰是数学建构活动的基本方式。对新的数学知识的理解是借助已有的数学经验和知识，超越所提供的新数学知识而建构的。也就是说，较高层次数学知识的建构是以较低层次数学知识为基础的。）数学活动发生的逻辑必要条件
（在确立了数学教学本质上是数学活动的教学之后，必须明确，怎样才能使数学活动在数学教学过程中有效地展开，即数学活动的发生必须具有什么样的逻辑必要条件。）
数学活动发生的逻辑必要条件：（67）第一、引起学生学习的心向；第二，数学活动内容的潜在逻辑性；第三，数学活动要以学生的已有学习为基础；第四，学生要具备参与数学活动的思维潜能。数学教学的基本特点
数学教学的基本特点：第一，数学教学高度强调学生智力参与和独立思考；第二，数学教学要把握大观点和核心概念（大观点见P68）；第三，数学教学应该是一种科学探究活动；第四，数学教学离不开数学解题；第五，数学教学必须重视过程知识。（67）
数学教学过程中，需要给学生留出较多思考的空间，对于具有一定难度和灵活性的数学问题，不一定非要要求学生做出漂亮、完整的结论，或者产生多少了不起的创造。只要用心去钻研、去探索，哪怕遭遇更多的是挫折与失败，也会获得一种基于体验的过程知识，在日后的学习中发挥作用。因此，有效的数学教学活动应重在使学生亲历知识的发生、发展过程，体验数学的思考方式，从而获得相关的过程知识。（70）
5.1.2数学教学过程
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数学教学过程是数学教师组织和引导学生系统地学习和掌握数学知识，进行积极的思维活动，形成良好的认识与发展相统一的育人过程。
数学教学过程的实质体现在三个方面：从结构上看，它是一个以教师、学生、教学内容、教学方法等为基本要素的多维结构；从性质上讲，它是一个有目的、有计划、的多边活动过程；从功能上讲，它又是一个教师引导下的学生主动探究、发现、建构数学知识，发展数学能力，促进情感、态度、价值观等各方面素质全面发展的育人过程。（70）
数学教学过程中最基本的因素是：教师、学生、教学内容、教学方法。
教师是教学向导的主角；学生是学的活动的主体；教学内容是师生活动的载体；教学方法是指引教学过程展开的行动方式。（70）数学教学过程的基本规律
数学教学过程展开的基本规律需要从“教什么”、“怎么教”、“教学结果如何”等三个方面来考察。（71）
数学教学中“教什么”是指教学生学什么，教学生怎样学。 “教什么”是数学教学过程展开的首要问题。
“教什么”的实质在于“教学生学什么”和“教学生怎样学”。而不是单纯意义上的教的内容。（71）
“教学生学什么”明确了教学过程中教师是教学向导的主角和学生是学的活动的主体这样一层关系。（72）
“教学生怎么学”就是在明确“学什么”的基础上，如何引导学生去主动地学，即启发学生去质疑、去发现、去探究、去归纳、去判断、去概括……的策略和方法上的暗示。（72）
数学教学“怎么教”是指“教学生学什么”，“教学生怎么学”。 “怎么教”不是单纯地指采用什么方法和手段推进数学教学，而是包含着“怎样教学生学什么”与“怎样教学生怎样学”的深刻含义。
教师作为教学的引导着，就是要求一定要把学生放在探究的位置上，让他自己去探究，自己去发现，他必须成为主动的学习者。（72）
教学引导的基本手段是启发。数学教学中的启发主要是暗示。 教师通过启发给学生以必要的暗示，学生通过自己的思维活动获得暗示。
数学中启发教学的方法主要有三种：一是设计问题情境；二是设计动态的直观图形启发学生；三是运用“元认知提示语”发问（提示语见P125）
数学教学的结果是构建良好的认知结构（72）
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5.2数学教学原则（73）
数学教学原则是指导数学教学的一般性原则，是进行数学教学活动应遵循的原则。
数学教学原则是根据数学教育的目标，数学学科的特点，学生学数学的心理特征以及数学教学的实践经验等概括而成的。
数学教学原则包括两类：数学教学的一般原则和数学教学的特
殊原则。（73）
5.2.1数学教学的一般原则
数学教学的一般原则：（1）主动性原则；（2）发展性原则；（3）启发性原则；（4）理论联系实际的原则。（73）
主动性是教学的普遍原则。它要求学习者必须积极主动地参与数学活动，在“做数学中学数学”，也就是说数学教学必须遵循主动性原则。
主动性原则的基本标志是独立思考和智力参与。（73）
在教学中突出主动性原则的途径主要有两个：一是注重培养学生主动探究的意识（要充分将学生置身于探究的情境中，注意激发学生主动参与的兴趣和动力。）；二是在主动学习的方法上多加引导（通过介绍、讨论、对比思考的角度和方法，提高学生独立思考和智力参与的经验和质量）。（73）
发展性原则。从数学教学的角度看，以可持续发展为特征的发展性原则主要体现在以下几点：第一，使学生充满主动学习的热情；第二，是学生学会学习；第三，发展学生的认识力。（73）
启发性原则。（教师作为教学向导的主角，其引导作用主要是通过启发来实现的，而学生作为主动的探究者，也离不开教师适时的启发引导。）启发性原则是数学教学基本指导思想。（74）
启发性原则最基本的要求，就是教师要站在学生的角度，从学生的知识水平、思维水平、经验水平出发，提出适当的问题，设置合理的问题情境，去引导学生思考，使学生的思维向着新知识或问题的目标靠拢，最后达到目标。（74）
教学中的启发有两种基本的方式，即“愤悱术”和“产婆术”。两种方式都强调通过教师的向导作用来引导学生主动积极地学习，但两种方式又有很大的差异。（74）
“愤悱术”是我国古代教育家孔子的启发式教育思想。他主张“不愤不启，不悱不发”。（选择题） “愤”是学生发愤学习，积极思考，想搞明白而没有搞明白的心理状态。
“启”是教师去引导他们解除疑团，把问题搞明白。
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